Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Punkte $B_{n}$ auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = - 1,5$ und Punkte

$C_{n} (x | - 0,25 \cdot {0,5}^{x - 4} + 2)$ auf dem Graphen der Funktion $f$ mit der Gleichung

$y = - 0,25 \cdot {0,5}^{x - 4} + 2$ haben dieselbe Abszisse $x (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Sie bilden für $x > 0,19$ zusammen mit dem Punkt $A (0 | 0)$ Dreiecke $A B_{n} C_{n} .$

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f$ bereits eingezeichnet.
Ergänzen Sie die Gerade $g$ und das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ für $x = 6$ .
Zeichnung der Gerade g und des Dreiecks $A B_{n} C_{n}$ für x = 6:
Zeichnung der Geraden g: $y = - 1,5$ . Die Gerade (lineare Funktion) hat keine Steigung und schneidet die y-Achse bei $- 1,5$ (rot).
Punkt $A (0 | 0)$ (blau).
Der Punkt $C_{n} (x | - 0,25 \cdot {0,5}^{x - 4} + 2)$ mit $x = 6$ :
$y (6) = - 0,25 \cdot {0,5}^{6 - 4} + 2 = - 0,25 \cdot {0,5}^{2} + 2 = - 0,25 \cdot 0,25 + 2 = \frac{31}{16} \approx 1,94$
$C_{1} (6 | 1,94)$
$B_{1}$ und $C_{1}$ haben dieselbe Abszisse x und $B$ liegt auf der Geraden g: $x_{B} = 6$ , $y_{B} = - 1,5$
$\Rightarrow B_{1} (6 | - 1,5)$
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Unter den Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $A B_{2} C_{2}$ mit der Basis $[B_{2} C_{2}]$ .

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $C_{2}$ .

Gegeben sind Sechsecke $A B_{n} C_{n} D E_{n} F_{n}$ mit der Symmetrieachse $A D$ . Der Punkt $G$ ist der Mittelpunkt der Strecken $[C_{n} E_{n}]$ und $[B_{n} F_{n}]$ .

Es gilt: $A G = 4 cm$ und $D G = 3 cm$ .

Die Winkel $B_{n} A F_{n}$ haben das Maß $φ$ und die Winkel $E_{n} D C_{n}$ haben das Maß $2 φ$ mit $φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ} [.$

Die Zeichnung zeigt das Sechseck $A B_{1} C_{1} D E_{1} F_{1}$ für $φ = 40^{\circ}$ .

Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken $[B_{n} F_{n}]$ und $[C_{n} E_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $B_{n} F_{n} (φ) = 8 \cdot tan (0,5 \cdot φ) cm$ und $C_{n} E_{n} (φ) = 6 \cdot tan φ cm .$

Die Längen der Strecken $B_{n} F_{n}$ und $C_{n} E_{n}$ :
Da $G$ der Mittelpunkt der Längen $[C_{n} E_{n}]$ und $[B_{n} F_{n}]$ ist, ist die gesuchte Länge $B_{n} F_{n} = 2 \cdot B_{n} G$ .
$[B_{n} G]$ im rechtwinkligen Dreieck $A B_{n} G$ (rot) mithilfe der Trigonometrie:
$\tan (∡ G A B_{n}) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (∡ G A B_{n}) = \frac{B_{n} G}{A G}$
$\tan (0,5 \cdot φ) = \frac{B_{n} G}{4 cm}$ | $\cdot 4 cm$
$B_{n} G = \tan (0,5 \cdot φ) \cdot 4 cm$
Daraus folgt:
$B_{n} F_{n} (φ) = 2 \cdot B_{n} G = 2 \cdot \tan (0,5 \cdot φ) \cdot 4 cm = 8 \cdot \tan (0,5 \cdot φ) cm$
Da G der Mittelpunkt der Längen $[C_{n} E_{n}]$ und $[B_{n} F_{n}]$ ist, ist die gesuchte Länge $C_{n} E_{n} = 2 \cdot C_{n} G$ .
Wir gehen wie oben vor:
$[C_{n} G]$ im rechtwinkligen Dreieck $C_{n} D G$ (rot) mithilfe der Trigonometrie:
$\tan (∡ G D C_{n}) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (∡ G D C_{n}) = \frac{C_{n} G}{{D G}_{}}$
$\tan (φ) = \frac{C_{n} G}{3 cm}$ | $\cdot 3 cm$
$C_{n} G = \tan (φ) \cdot 3 cm$
$C_{n} E_{n} (φ) = 2 \cdot C_{n} G = 2 \cdot \tan (φ) \cdot 3 cm = 6 \cdot \tan φ cm$
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Die Sechsecke $A B_{n} C_{n} D E_{n} F_{n}$ rotieren um die Gerade $A D$ .

Zeigen Sie, dass für den Oberflächeninhalt $O$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $φ$ gilt:

$O (φ) = (16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot φ)}{\cos (0,5 \cdot φ)} + 9 π \cdot \frac{\tan (φ)}{\cos (φ)} + 9 π \cdot \tan^{2} φ - 16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ)) {cm}^{2}$

Für das Sechseck $A B_{2} C_{2} D E_{2} F_{2}$ gilt: $A B_{2} = B_{2} F_{2} = F_{2} A$ .

Zeichnen Sie das Sechseck $A B_{2} C_{2} D E_{2} F_{2}$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.

Berechnen Sie sodann den Oberflächeninhalt des zugehörigen Rotationskörpers. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist das Rechteck $A B C D$ . Punkte $E_{n}$ auf der Seite $[A B]$ und Punkte $F_{n}$ auf der Seite $[C D]$ legen zusammen mit dem Punkt $D$ Dreiecke $D E_{n} F_{n}$ fest. Die Winkel $A D E_{n}$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in [24,30 °; 65,70 °]$
Es gilt: $A B = 8 cm; A D = 3 cm$ ; $∡ F_{n} E_{n} D = 90 °$ .
Die Skizze zeigt das Dreieck $D E_{1} F_{1}$ für $φ = 50 °$ .
1. Begründen Sie, weshalb die Winkel $D F_{n} E_{n}$ stets das Maß $φ$ haben
  
  Der Winkel $∡ D F_{n} E_{n} = φ$ :
  Da es sich um ein Rechteck handelt, wissen wir, dass $[A B] ∥ [D C]$ .
  Somit sind die Winkel $∡ E_{n} D F_{n}$ und $∡ D E_{n} A$ (beide grün) Wechselwinkel und somit gleich groß:
  $∡ E_{n} D F_{n} = ∡ D E_{n} A = 180 ° - 90 ° - φ = 90 ° - φ$ .
  Die Dreiecke $A E_{n} D$ und $D E_{n} F_{n}$ sind somit winkeltreu (sie haben gleiche Winkel), damit muss der dritte Winkel auch gleich groß sein: $∡ A D E_{n} = ∡ D F_{n} E_{n} = φ$ (rot).
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2. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $[C F_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $C F_{n} (φ) = (8 - \frac{3}{\sin φ \cdot \cos φ})) c m .$
  
  Die Länge der Strecken [ $C F_{n}$ ] in Abhängigkeit von $φ$ :
  $C F_{n} = C D - D F_{n} = 8 cm - D F_{n}$
  Wir müssen also zunächst $D F_{n}$ berechnen, dazu fehlt uns noch die Seite $D E_{n}$ .
  Die Seite $D E_{n}$ (blau) im rechtwinkligen Dreieck $A E_{n} D$ mit Hilfe der Trigonometrie:
  $\cos (∡ A D E_{n}) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse} = \frac{A D}{D E_{n}}$
  $\cos (φ) = \frac{3 cm}{D E_{n}}$
  $D E_{n} = \frac{3 cm}{\cos φ}$
  Die Seite $D F_{n}$ (blau) im rechtwinkligen Dreieck $D E_{n} F_{n}$ mit Hilfe der Trigonometrie:
  $\sin (∡ D F_{n} E_{n}) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse} = \frac{D E_{n}}{D F_{n}}$
  $\sin φ = \frac{\frac{3 cm}{\cos φ}}{D F_{n}} = \frac{3 cm}{\cos φ \cdot D F_{n}}$ | $\cdot \frac{D F_{n}}{\sin φ}$
  $D F_{n} = \frac{3 c m}{\cos φ \cdot \sin φ}$
  Einsetzen der Ergebnisse in die Formel:
  $C F_{n} (φ) = 8 cm - D F_{n} = (8 - \frac{3}{\cos φ \cdot \sin φ}) cm$
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3. Berechnen Sie die Länge der Strecke $[C F_{1}]$ . Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
  
  Die Länge der Strecke $C F_{1}$ mit $φ = 50 ° :$
  Wir setzen in die Formel ein:
  $C F_{n} (50 °) = (8 - \frac{3}{\cos 50 ° \cdot \sin 50 °}) cm \approx 1,91 cm$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$y$	$=$	$- 0,25 \cdot {0,5}^{x - 4} + 2$
	↓	$y = 1,5$ setzen
$1,5$	$=$	$- 0,25 \cdot 0,5 x - 4 + 2$	$- 2$
$1,5 - 2$	$=$	$- 0,25 \cdot {0,5}^{x - 4}$
$- 0,5$	$=$	$- 0,25 \cdot {0,5}^{x - 4}$	$\cdot (- 1)$
$0,5$	$=$	$0,25 \cdot {0,5}^{x - 4}$
	↓	Exponenten trennen
$0,5$	$=$	$0,25 \cdot \frac{{0,5}^{x}}{{0,5}^{4}}$	$\cdot {0,5}^{4}$
$0,5 \cdot 0,54$	$=$	$0,25 \cdot {0,5}^{x}$
${0,5}^{5}$	$=$	$0,25 \cdot {0,5}^{x}$
	↓	Schreibe $0,25$ als ${0,5}^{2}$ .
${0,5}^{5}$	$=$	${0,5}^{2} \cdot {0,5}^{x}$	$: ({0,5}^{2})$
$\frac{{0,5}^{5}}{{0,5}^{2}}$	$=$	${0,5}^{x}$
	↓	Seitenwechsel
${0,5}^{x}$	$=$	${0,5}^{3}$
${0,5}^{x}$	$=$	$0,125$
$x$	$=$	$\log_{0,5} (0,125)$
$x$	$=$	$3$

$O_{1} (φ)$	$=$	$r_{1}^{2} \cdot π + r_{1} \cdot π \cdot s_{1}$
	$=$	$({(\tan (0,5 \cdot φ) \cdot 4 cm)}^{2} \cdot π + (\tan (0,5 \cdot φ) \cdot π \cdot 4 cm) \cdot \frac{4 cm}{\cos (0,5 \cdot φ)})$
	$=$	$(16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ) + 16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot φ)}{\cos (0,5 \cdot φ)}) {cm}^{2}$

$O_{2} (φ)$	$=$	$r_{2}^{2} \cdot π + r_{2} \cdot π \cdot s_{2}$
	$=$	$(r_{2}^{2} \cdot π + r_{2} \cdot π \cdot s_{2})$
	$=$	$({(\tan (φ) \cdot 3 cm)}^{2} \cdot π + (\tan (φ) \cdot 3 cm) \cdot π \cdot \frac{3 cm}{\cos φ})$
	$=$	$(9 π \cdot \tan^{2} φ + 9 π \cdot \frac{\tan φ}{\cos φ}) {cm}^{2}$

$K_{1} (φ)$	$=$	$r_{1}^{2} \cdot π$
	$=$	${(\tan (0,5 \cdot φ) \cdot 4 cm)}^{2} \cdot π$
	$=$	$16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ)$

$O (φ)$	$=$	$O_{1} + O_{2} - 2 \cdot K_{1}$
	$=$	$(16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ) + 16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot φ)}{\cos (0,5 \cdot φ)} + 9 π \cdot \tan^{2} φ + 9 π \cdot \frac{\tan φ}{\cos φ} - 2 \cdot (16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ))) {cm}^{2}$
	↓	Sortieren wie in der Angabe.
	$=$	$(16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot φ)}{\cos (0,5 \cdot φ)} + 9 π \cdot \frac{\tan φ}{\cos φ} + 9 π \cdot \tan^{2} φ + 16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ) - 32 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ)) {cm}^{2}$
	$=$	$(16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot φ)}{\cos (0,5 \cdot φ)} + 9 π \cdot \frac{\tan φ}{\cos φ} + 9 π \cdot \tan^{2} φ - 16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ)) {cm}^{2}$

$O (φ)$	$=$	$(16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot φ)}{\cos (0,5 \cdot φ)} + 9 π \cdot \frac{\tan φ}{\cos φ} + 9 π \cdot \tan^{2} φ - 16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot φ)) {cm}^{2}$
	↓	Setze $φ = 60^{\circ}$ ein.
$O (60^{\circ})$	$=$	$(16 π \cdot \frac{\tan (0,5 \cdot 60^{\circ})}{\cos (0,5 \cdot 60^{\circ})} + 9 π \cdot \frac{\tan 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} + 9 π \cdot \tan^{2} (60^{\circ}) - 16 π \cdot \tan^{2} (0,5 \cdot 60^{\circ})) {cm}^{2}$
$O (60^{\circ})$	$=$	$(16 π \cdot \frac{\tan (30^{\circ})}{\cos (30^{\circ})} + 9 π \cdot \frac{\tan 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} + 9 π \cdot \tan^{2} (60^{\circ}) - 16 π \cdot \tan^{2} (30^{\circ})) {cm}^{2}$
$O (60^{\circ})$	$=$	$(16 π \cdot \frac{2}{3} + 9 π \cdot 2 \sqrt{3} + 9 π \cdot 3 - 16 π \cdot \frac{1}{3}) {cm}^{2}$
$O (60^{\circ})$	$=$	$(\frac{32}{3} π + 18 π \sqrt{3} + 27 π - \frac{16}{3} π) {cm}^{2}$
	↓	Klammere $π$ aus.
$O (60^{\circ})$	$=$	$π (\frac{32}{3} + 18 \sqrt{3} + 27 - \frac{16}{3}) {cm}^{2}$
	↓	Fasse zusammen.
$O (60^{\circ})$	$=$	$199,52 {cm}^{2}$

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