geg.: Pyramide $ABCDS$; $G_{Pyramide\ ABCD}$ ist eine Raute mit $A_{Raute}=\frac {1}{2}\cdot e \cdot f$ oder

$A_{Raute}=a\cdot h_a$ ; $|\overline {AC}| =11\: cm; |\overline {BD}|=6\:cm;$ Höhe $|\overline {AS}|=9\: cm$

ges.: Schrägbild der Pyramide $ABCDS$; Länge der Strecke $|\overline {CS}|$; $∡SCA$

Zeichnung Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ mit Schrägbildachse $\overline {AC}$

$A$ links von $C$; $q=\frac {1}{2}$; $\omega =45°$ $\Rightarrow |\overline{BD}|_{in \:Zeichnung}=\frac {1}{2} \cdot 6=3\:cm$

Berechnung Länge der Strecke $|\overline{CS}|$ mit Pythagoras:

$|\overline {AC}|^2+|\overline {AS}|^2=|\overline {CS}|^2$

$\Rightarrow |\overline {CS}|=\sqrt{|\overline {AC}|^2+|\overline {AS}|^2}$

$\Rightarrow |\overline {CS}|=\sqrt{11^2+9^2}=\sqrt{121+81}=\sqrt{202}=\bold {14{,}21\: cm}$

Berechnung $∡SCA$ mit Tangens:

$\tan∡SCA=\frac{GK}{HY}=\frac{AS}{AC}=\frac{9\:cm}{11\:cm}=0,\overline {81}$

$\Rightarrow \bold {∡SCA=39{,}29°}$

geg.: $|\overline {SP_n}|(x)=x\:cm$, mit $c ∈ R; \quad 0\leq x\leq 14{,}21$ (siehe Aufgabe B 4a)

$P_n∈\overline {CS}$ sind die Spitzen von $ABDP_n$ mit Höhe $=\overline {P_nF_n}$

ges.: Zeichnung Pyramide $ABDP_1$ für $x=3$, Höhe $=\overline {P_1F_1}$ und $∡ SP_1A$

Einzeichnen der Pyramide $ABDP_1$ für $x=3$ und der Höhe $=\overline {P_1F_1}$ siehe Graphik

Berechnung $∡SP_1A$ mithilfe Sinussatz:

$\Rightarrow \bold {\frac{sin∡SP_1A}{|\overline {AS}|}=\frac{sin∡ASP_1}{|\overline {AP_1}|}}$

die noch fehlenden Größen $∡ASP_1$ und $|\overline {AP_1}|$ werden wie folgt berechnet:

$\qquad$a) $∡ASP_1=180°−90°−39{,}29° \Rightarrow ∡ASP_1=50{,}71°$

$\qquad$b) $|\overline {AP_1}|$ mithilfe Kosinusssatz: $a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \cos⁡(α)$

$\qquad\quad \Rightarrow |\overline {AP_1}|^2=|\overline {AS}|^2+|\overline {SP_1}|^2-2\cdot |\overline {AS}|\cdot|\overline {SP_1}|\cdot \cos (50{,}71°)$

$\qquad$Einsetzen der Werte und berechnen:

$\qquad |\overline{AP_1}| = \sqrt{9^2+3^2-2\cdot9\cdot3 \cdot \cos(50{,}71°)}$ , mit $\cos(50{,}71°)=0{,}63325$

$\qquad |\overline{AP_1}| = \sqrt{81+9-54\cdot 0{,}63325}$

$\qquad \Rightarrow \bold {|\overline{AP_1}|} = \sqrt{90-34{,}20}=\sqrt{55{,}80}=7{,}46994\approx \bold {7{,}47\: cm}$

$\qquad$c) Anwendung Sinussatz auf $∡SP_1A$:

$\qquad \Rightarrow \bold {\frac{sin∡SP_1A}{|\overline {AS}|}=\frac{sin(50{,}71°)}{7{,}47\:cm}}$ mit $\sin⁡(50{,}71°)=0{,}77395$

$\qquad$Werte einsetzen und nach $\sin∡SP_1A$ auflösen:

$\qquad \Rightarrow \sin∡SP_1A=\frac{\sin(50{,}71°)\cdot {9}}{7{,}47}=\frac{0{,}77395\cdot 9}{7{,}47}=0{,}93247$

$\qquad \Rightarrow \bold {∡SP_1 A=68{,}82° \vee 111{,}18°}$

$\qquad$gem. Zeichnung ist nur $\bold {∡SP_1 A>90°}$ relevant: $\Rightarrow \bold {∡SP_1 A=111{,}18°}$

ges.: Volumen der Pyramide $ABDP_n(x)$

Ansatz und Rechnung:

Volumen einer Pyramide: $\bold {V=\frac {1}{3}\cdot G \cdot h}$

Volumen der Pyramide $ABDP_n$ siehe Graphik

mit $G_{\triangle ADB}=\frac{1}{2}\cdot |\overline{BD}|\cdot \frac{|\overline{AC}|}{2}$ und $h=\overline {P_n F_n}$

$\Rightarrow V_{ADBP_n}=\frac{1}{3}\cdot G_{\triangle ADB}\cdot h$

$\Rightarrow V_{ADBP_n}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot |\overline{BD}|\cdot\frac{|\overline{AC}|}{2}\cdot \overline {P_n F_n}$

hierbei sind $|\overline{BD}|=6\:cm$ und $\frac{|\overline{AC}|}{2}=\frac{11}{2}=5{,}5\:cm$

die noch fehlende Größe $\overline {P_n F_n}$ wird wie folgt berechnet:

$\frac {|\overline{P_n F_n}|}{|\overline {AS}|}=\frac {{P_nC-x}}{|\overline {CS}|}\qquad \Rightarrow \frac {|\overline{P_n F_n}|}{9\:cm}=\frac {{14{,}21\:cm -x}}{14{,}21\:cm}\quad$mit $x\in R; \: 0\leq x \leq 14{,}21$

${|\overline{P_n F_n}|}=\frac {{9\:cm}\cdot ({14{,}21\:cm -x})}{14{,}21\:cm}$

$\bold {|\overline{P_n F_n}|}=\frac {9\:cm \cdot 14{,}21\:cm}{14{,}21\:cm}- \frac {9\:cm\cdot x \:cm }{14{,}21\:cm}= \bold {(9-0{,}63\cdot x)\:cm}$

Werte einsetzen in Volumenformel $\bold {V_{ADBP_n }}$:

$\Rightarrow V(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot\frac{11}{2}\cdot (9-0{,}63\cdot x)\:cm^3$

$\Rightarrow V(x)=5{,}5\cdot (9-0{,}63\cdot x)\:cm^3$

$\Rightarrow V(x)=(49{,}50-3{,}47\cdot x)\:cm^3$ $\qquad$|umstellen

$\Rightarrow \bold {V(x)=(-3{,}47\cdot x+49{,}50)\:cm^3}$ $\qquad$q.e.d.

Volumen der Pyramide: $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$

$G=\frac{1}{2}\cdot |\overline {BD}|\cdot |\overline {AC}|$; mit $|\overline {BD}|=6\: cm$; $|\overline {AC}|=11\:cm$; $h=|\overline {AS}|=9\:cm$

$\Rightarrow V_{ABCDS}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot |\overline {BD}|\cdot |\overline {AC}|\cdot |\overline {AS}|\:cm^3$

Werte einsetzen:

$\Rightarrow \bold {V_{ABCDS}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 11\cdot 9=\bold {99\: cm^3}$

20 % des Volumens von $V_{ABCDS}$ gegenüberstellen mit $V(x)$ aus Aufgabe B 4.c und daraus den $x-$Wert berechnen.

x-wert berechnen

$\Rightarrow \bold {0{,}2 \cdot V_{ABCDS}={V(x)_{ABDP_2}}}$

$\Rightarrow 0{,}2\cdot 99\: cm^3 =(-3{,}47\cdot x+49{,}5)\: cm^3 \qquad x \in R \quad 0\leq x\leq 14{,}21$

$\Rightarrow -3{,}47\cdot x+49{,}5=19{,}8$

$\Rightarrow -3{,}47\cdot x=19{,}8-49{,}5$

$\Rightarrow -3{,}47\cdot x=-29{,}7$

$\Rightarrow \bold {x}=\frac{-29{,}7}{-3{,}47}=8{,}559\approx \bold {8{,}56}$ $\qquad \bold {\mathbb{L}=\{8{,}56\}}$

Begründung

Für die Pyramide $V_{ADBP_0}$ gilt $P_0≙S$ .

Also haben die Pyramiden $ABCDS$ und $ABDP_0$ die gleiche Höhe $|\overline {AS}|$.

Weil die Grundfläche $A_{\triangle ABD}$ nur die Hälfte von $A_{\triangle ABCD}$ ist, gilt folglich:

$\bold {V_{ABDP_0}=0{,}5 \cdot V_{ABCDS}}$