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Aufgabe B4

Die untenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS\text{ABCDS} mit der Höhe AS\overline{AS}, deren Grundfläche die Raute ABCD\text{ABCD} ist.

Bild

Es gilt:  AC=11 cm; BD=6 cm; AS=9 cm.\ \mathrm{\left|\overline{AC}\right|=11\ cm};\ \mathrm{\left|\overline{BD}\right|=6\ cm};\ \mathrm{\left|\overline{AS}\right|=9\ cm}.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS\text{ABCDS}, wobei die Strecke AC\mathrm{\overline{{AC}}} auf der Schrägbildachse und der Punkt A\text{A} links vom Punkt C\text{C} liegen soll.

    Für die Zeichnung gilt: q=12; ω=45\mathrm{q=\dfrac{1}{2};\ \omega=45^\circ}

    Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke CS\mathrm{\overline{CS}} und das Maß des Winkels SCA\text{SCA}. (4 P)

    [[ Teilergebisse: CS=142 cm; SCA=39,29\ \mathrm{\left|\overline{CS}\right|=142\ cm;\ \sphericalangle{SCA}=39{,}29^\circ} ]]

  2. Für Punkte PnCS\mathrm{P_n\in\overline{CS}} gilt: SPn(x)=x cmxR; 0x<14,21.\mathrm{\left|\overline{SP_n}\right|(x)=x\ cm\quad x\in\mathbb{R};\ 0\leq x<14{,}21}. Die Punkte Pn\mathrm{P_n} sind die Spitzen von Pyramiden ABDPn\mathrm{ABDP_n} mit den Höhen PnFn.\mathrm{\overline{P_nF_n}}.

    Zeichnen Sie für x=3\mathrm{x=3} die Pyramide ABDP1\mathrm{ABDP_1} und die Höhe P1F1\mathrm{\overline{P_1F_1}} in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.

    Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels SP1A.\mathrm{SP_1A}. (4 P)

    [[ Zwischenergebnis: AP1=7,47 cm]\mathrm{\left|\overline{AP_1}\right|=7{,}47\ cm}]

  3. Zeigen Sie, dass für das Volumen der Pyramiden ABDPn\mathrm{ABDP_n} in Abhängigkeit von x\text{x} gilt: (3 P)

    V(x)=(3,47x+49,5) cm3\mathrm{V(x)=(-3{,}47x+49{,}5)\ cm^3}

  4. Ermitteln Sie rechnerisch, für welchen Wert von x\text{x} das Volumen der zugehörigen

    Pyramide ABDP2\mathrm{ABDP_2} um 80 %80\ \% kleiner ist als das Volumen der Pyramide ABCDS\text{ABCDS}. (3 P)


  5. Unter den Pyramiden ABDPn\mathrm{ABDP_n} hat die Pyramide ABDP0\mathrm{ABDP_0} das größte Volumen.

    Begründen Sie, weshalb das Volumen der Pyramide ABDP0\mathrm{ABDP_0} halb so groß ist wie das Volumen der Pyramide ABCDS\text{ABCDS}. (2 P)