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Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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  1. 1

    Aufgabe B1

    Der Punkt M\text{M} ist der Mittelpunkt der Strecke AB\overline{\text{AB}} und des Kreisbogens BA\mathrm{\stackrel\frown{BA}}. Die Punkte P, Q\text{P, Q} und R\text{R} liegen auf dem Kreisbogen BA\mathrm{\stackrel\frown{BA}} und bilden zusammen mit dem Punkt M\text{M} das Drachenviereck MPQR\text{MPQR} mit der Symmetrieachse MQ\text{MQ} (siehe Skizze).

    Bild

    Es gilt: AM=4 cm\mathrm{\overline{AM}=4\ cm}; QMA=90;PMR=100\mathrm{\sphericalangle{QMA}=90^{\circ} ; \sphericalangle{PMR}=100^{\circ}}.

    Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie die Strecke AB\overline{\text{AB}}, den Kreisbogen AB\overset{\frown}{\text{AB}} sowie das Drachenviereck MPQR\text{MPQR}. (2 P)

    2. Berechnen Sie den Umfang des Drachenvierecks MPQR\text{MPQR}. (2 P)

      [[ Ergebnis: U=14,76 cm\mathrm{U=14{,}76\ cm} ]]

    3. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Umfangs des Drachenvierecks MPQR\text{MPQR} am Umfang der Figur, die sich aus dem Kreisbogen AB\overset{\frown}{\text{AB}} sowie der Strecke AB\overline{\text{AB}} zusammensetzt. (2 P)

  2. 2

    Aufgabe B2

    Die untenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers

    mit der Rotationsachse DJ\text{DJ}.

    Bild

    Es gilt: CM=BL=r=3 cm; ML=1,5 cm\ \mathrm{\left|\overline{CM}\right|=\left|\overline{BL}\right|=r=3\ cm;\ \left|\overline{ML}\right|=1{,}5\ cm}

    JL=6 cm; KL=1 cm\hspace{11mm}\mathrm{\left|\overline{JL}\right|=6\ cm;\ \left|\overline{KL}\right|=1\ cm}

    Berechnen Sie die Länge der Strecke AK\mathrm{\overline{AK}} und das Volumen des Rotationskörpers. (4 P)

    Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Teilergebnis: AK=2,5 cm\ \mathrm{\overline{AK}=2{,}5\ cm}

  3. 3

    Aufgabe B3

    Die Parabel p verläuft durch die Punkte P(66)\mathrm{P(6|6)} und Q(83)\mathrm{Q(8|3)}. Sie hat eine Gleichung

    der Form: y=0,25x2+bx+c(b,c,x,yR).\mathrm{y=-0{,}25x^2+bx+c\quad\left(b,c,x,y\in\mathbb{R}\right)}.

    Die Gerade g hat die Gleichung: y=15x1(x,yR)\mathrm{y=\dfrac{1}{5}x-1\quad\left(x,y\in\mathbb{R}\right)}

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b\text{b} und c\text{c}, dass die Parabel die Gleichung

      y=0,25x2+2x+3y=\mathrm{-0{,}25x^2+2x+3} hat.

      Zeichnen Sie sodann die Parabel p\text{p} und die Gerade g\text{g} für x[2;10]\mathrm{x\in\left[-2;10\right]} in ein Koordinatensystem ein. (4 P)

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;2x11;2y7 \mathrm{1\ cm;\quad-2\leq x\leq11;\quad-2\leq y\leq 7}

    2. Punkte An(x15x1)\mathrm{A_n\biggl(x\bigg\vert\dfrac{1}{5}x-1\biggl)} auf der Geraden g\text{g} und Punkte Cn(x0,25x2+2x+3)\mathrm{C_n\left(x\big\vert-0{,}25x^2+2x+3\right)}

      auf der Parabel p\text{p} haben dieselbe Abszisse x\text{x} und sind zusammen mit Punkten Bn\mathrm{B_n} Eckpunkte von gleichseitigen Dreiecken AnBnCn.\mathrm{A_nB_nC_n}. Es gilt: yCn>yAn.\mathrm{y_{C_n}>y_{A_n}}.

      Zeichnen Sie die Dreiecke A1B1C1\mathrm{A_1B_1C_1} für x=0\mathrm{x=0} und A2B2C2\mathrm{A_2B_2C_2} für x=5\mathrm{x=5} in das Koordinaten-system zu 2a.)\mathrm{2a.)} ein. (2 P)

    3. Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von x\text{x} es Dreiecke AnBnCn\mathrm{A_nB_nC_n} gibt. (3 P)

    4. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken AnCn\mathrm{\overline{A_nC_n}} in Abhängigkeit

      von x\text{x} gilt: AnCn(x)=(0,25x2+1,8x+4) LE\mathrm{\left|\overline{A_nC_n}\right|(x)=\left(0{,}25x^2+1{,}8x+4\right)\ LE}. (1 P)

    5. Ermitteln Sie die maximale Streckenlänge A0C0\mathrm{\left|\overline{A_0C_0}\right|} sowie den zugehörigen Wert für x\text{x}.

      Berechnen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt Amax\mathrm{A_{max}} der Dreiecke AnBnCn\mathrm{A_nB_nC_n}. (3 P)

    6. Die Winkel zwischen der Geraden g\text{g} und den Strecken AnBn\mathrm{\overline{A_nB_n}} haben jeweils das gleiche Maß.

      Berechnen Sie das zugehörige Maß φ\varphi für das gilt: φ<90.\varphi<90^{\circ}. (2,5 P)

      °
  4. 4

    Aufgabe B4

    Die untenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS\text{ABCDS} mit der Höhe AS\overline{AS}, deren Grundfläche die Raute ABCD\text{ABCD} ist.

    Bild

    Es gilt:  AC=11 cm; BD=6 cm; AS=9 cm.\ \mathrm{\left|\overline{AC}\right|=11\ cm};\ \mathrm{\left|\overline{BD}\right|=6\ cm};\ \mathrm{\left|\overline{AS}\right|=9\ cm}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS\text{ABCDS}, wobei die Strecke AC\mathrm{\overline{{AC}}} auf der Schrägbildachse und der Punkt A\text{A} links vom Punkt C\text{C} liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=12; ω=45\mathrm{q=\dfrac{1}{2};\ \omega=45^\circ}

      Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke CS\mathrm{\overline{CS}} und das Maß des Winkels SCA\text{SCA}. (4 P)

      [[ Teilergebisse: CS=142 cm; SCA=39,29\ \mathrm{\left|\overline{CS}\right|=142\ cm;\ \sphericalangle{SCA}=39{,}29^\circ} ]]

    2. Für Punkte PnCS\mathrm{P_n\in\overline{CS}} gilt: SPn(x)=x cmxR; 0x<14,21.\mathrm{\left|\overline{SP_n}\right|(x)=x\ cm\quad x\in\mathbb{R};\ 0\leq x<14{,}21}. Die Punkte Pn\mathrm{P_n} sind die Spitzen von Pyramiden ABDPn\mathrm{ABDP_n} mit den Höhen PnFn.\mathrm{\overline{P_nF_n}}.

      Zeichnen Sie für x=3\mathrm{x=3} die Pyramide ABDP1\mathrm{ABDP_1} und die Höhe P1F1\mathrm{\overline{P_1F_1}} in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.

      Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels SP1A.\mathrm{SP_1A}. (4 P)

      [[ Zwischenergebnis: AP1=7,47 cm]\mathrm{\left|\overline{AP_1}\right|=7{,}47\ cm}]

    3. Zeigen Sie, dass für das Volumen der Pyramiden ABDPn\mathrm{ABDP_n} in Abhängigkeit von x\text{x} gilt: (3 P)

      V(x)=(3,47x+49,5) cm3\mathrm{V(x)=(-3{,}47x+49{,}5)\ cm^3}

    4. Ermitteln Sie rechnerisch, für welchen Wert von x\text{x} das Volumen der zugehörigen

      Pyramide ABDP2\mathrm{ABDP_2} um 80 %80\ \% kleiner ist als das Volumen der Pyramide ABCDS\text{ABCDS}. (3 P)


    5. Unter den Pyramiden ABDPn\mathrm{ABDP_n} hat die Pyramide ABDP0\mathrm{ABDP_0} das größte Volumen.

      Begründen Sie, weshalb das Volumen der Pyramide ABDP0\mathrm{ABDP_0} halb so groß ist wie das Volumen der Pyramide ABCDS\text{ABCDS}. (2 P)


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