Teil B

geg.: $|\overline {AM}|= 4\: cm$; $∡QMA=90°$; $∡PMR=100°$; $e≙MQ= 4\:cm$

ges.: Zeichnen von $\overline {AB}$, $\overset{\frown}{\text{AB}}$, Drachenviereck $MPQR$

Vollständige Zeichnung

Umfang des Drachenvierecks MPQR

$\color {blue} U_{Drachenviereck}=2\cdot (a+b)$

$\Rightarrow \bold {U_{MPQR}=2\cdot (|\overline {MP}|+|\overline {PQ}|)}$

$\quad$ mit $|\overline {MP}|= 4\: cm$ und $|\overline {PQ}|$ berechnet mit dem Kosinussatz

$\quad \color {blue} a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos⁡(α)$:

$\quad |\overline {PQ}|^2=|\overline {MQ}|^2+|\overline {MP}|^2-2\cdot|\overline {MQ}|\cdot |\overline {MP}|\cdot \cos(\frac {1}{2} \cdot 100°)$

$\quad |\overline {PQ}|=\sqrt{|\overline {MQ}|^2+|\overline {MP}|^2-2\cdot|\overline {MQ}|\cdot |\overline {MP}|\cdot \cos(\frac {1}{2} \cdot 100°)}$

$\quad |\overline {PQ}|=\sqrt{4^2+4^2-2\cdot4\cdot 4\cdot \cos(50°)}$ mit $\cos(50°) ≙ 0{,}64279$

$\quad |\overline {PQ}|=\sqrt{16+16-32\cdot 0{,}64279}$

$\quad |\overline {PQ}|=\sqrt{32-20{,}57}=\sqrt{11{,}43}$

$\quad \bold{|\overline {PQ}|=3{,}38\: cm}$

$\Rightarrow \bold {U_{MPQR}=2\cdot (4+3{,}38)\: cm}$

$\Rightarrow \bold {U_{MPQR}=14{,}76\: cm}$

Berechnung Umfang des Halbkreises ${(\overline {AB}\: +\stackrel\frown{BA})}$

$\bold {U_{Halbkreis}}=|\overline {AB}|+\frac {1}{2}\cdot |\overline {AB}|\cdotπ=8+\frac {1}{2}\cdot 8\cdot 3{,}14159=20{,}56636 \approx \bold {20{,}57\: cm}$

Berechnung des prozentualen Anteils vom Umfang MPQR am Halbkreis ${(\overline {AB}\: +\stackrel\frown{BA})}$

$\displaystyle\frac{U_{MPQR}}{\text{Halbkreis} {(\overline {AB}\: +\stackrel\frown{BA})}}=\frac {14{,}76}{20{,}57}=0{,}7175≙ \bold {71{,}75}$ %

geg.: Punkte $P(6|6)$ und $Q(8|3)$ auf der Parabel $p$;

Normalform von $p$: $y=−0{,}25\cdot x^2+b\cdot x+c$

ges.: Koeffizienten $b$ und $c$ der Parabel $p$; Graph von $p$ und $g$

Berechnung der Parabelgleichung p aus zwei Punkten und dem Koeffizienten a

1. Allgemeine Parabelform lautet: $y=−0{,}25\cdot x^2+b\cdot x+c$

$\Rightarrow$ Öffnungsfaktor $\bold {a=-0{,}25}$

2. Punkte $P$ und $Q$ in Parabelgleichung einsetzen und Gleichungssystem aufstellen:

$\quad (I) \: P(6|6):\quad \Rightarrow 6=−0{,}25\cdot 6^2+b\cdot 6+c$

$\quad (II) \: Q(8|3):\quad \Rightarrow 3=−0{,}25\cdot 8^2+b\cdot 8+c$

3. lineares Gleichungssystem lösen (z.B. mit Einsetzungs-/ Addditions- / Gleichsetzung-Verfahren).

Hier Verwendung des Einsetzungsverfahrens:

$\quad$a) Gleichung $(I)$ nach $c$ auflösen:

$\qquad \Rightarrow c=6+0{,}25\cdot 6^2−b\cdot 6 \qquad \Rightarrow \bold {c=15-6b}$

$\quad$b) Wert für $c$ in Gleichung $(II)$ einsetzen und nach $b$ auflösen:

$\qquad 3=-0{,}25\cdot 8^2+8\cdot b+15-6\cdot b \qquad \Rightarrow 2\cdot b=3-15+16$

$\qquad\Rightarrow 2\cdot b=4\qquad \Rightarrow \bold {b=\frac{4}{2}=2}$

$\quad$c) Wert für $b$ in $c=15-6\cdot b$ einsetzen: $\Rightarrow \bold c=15-6\cdot2=15−12=\bold 3$

$\qquad \Rightarrow\quad$Parabelgleichung p: $\quad \bold {y=−0{,}25\cdot x^2+2\cdot x+3} \qquad \text{mit}~ x, y\in \mathbb{R}$

Graph von p und g im Bereich $x∈ [-2;10]$ zeichnen mithilfe "Geogebra":

geg.: $A_n(x|\frac {1}{5}\cdot x-1)$ und $C_n(x|−0{,}25\cdot x^2+2\cdot x+3)$ auf $p$ mit derselben Abszisse $x$ Punkte $B_n$ sind Eckpunkte von gleichseitigen Dreiecken $A_nB_nC_n.$

[im gleichseitigen $\triangle$ gilt: $h=\sqrt {3}\cdot \frac {a}{2}$, $h$ steht $⊥$ auf Seite $a$ und halbiert diese.]

Es gilt: $y_{C_n}>y_{A_n}$ d.h. die Punkte $C_n$ liegen über den Punkten $A_n$

ges.: Koordinaten der Dreieckseckpunkte für die Dreiecke $A_1B_1C_1$ für $x=0$ und $A_2B_2C_2$ für $x=5$, Zeichnung der Dreiecke im KOSY

Eckpunkte für $\triangle$ $A_1B_1C_1$ für $x=0$ berechnen:

$\quad A_1$ auf $g : y=\frac {1}{5}\cdot x-1=\frac {1}{5}\cdot 0-1=−1 \Rightarrow \bold {A_1(0|-1)}$

$\quad C_1$ auf $p: y=−0{,}25\cdot x^2+2\cdot x+3 =-0{,}25\cdot 0^2+2\cdot 0+3$

$\qquad\qquad\qquad\qquad =0+0+3=3 \Rightarrow \bold {C_1(0|3)}$

$\quad$$B_1$ Eckpunkt des $\triangle$$A_1B_1C_1$ mit Strecke $A_1C_1=4\;LE$

$\quad \Rightarrow \bold {y_{B_1}}=−1+2=\bold 1$ und

$\quad \Rightarrow \bold {x_{B_1}}=\sqrt {3}\cdot \frac {a}{2}≙ \sqrt {3}\cdot {\frac {A_1C_1}{2}=\sqrt {3}}\cdot \frac {4}{2}=2\cdot \sqrt {3} \Rightarrow \bold {B_1(3{,}46|1)}$

Eckpunkte für $\triangle$$A_2B_2C_2$ für $x=5$ berechnen:

$\quad A_2$ auf $g : y=\frac {1}{5}\cdot x-1=\frac {1}{5}\cdot 5-1=0 \Rightarrow \bold {A_2(5|0)}$

$\quad C_2$ auf $p: y=−0{,}25\cdot x^2+2\cdot x+3 =-0{,}25\cdot 5^2+2\cdot 5+3$

$\qquad\qquad\qquad$$=-6{,}25+10+3=6{,}75\Rightarrow \bold {C_2(5|6{,}75)}$

$\quad B_2$ Eckpunkt des $\triangle A_2B_2C_2$ mit der Strecke $A_2C_2=6{,}75\;LE$

$\quad \Rightarrow \bold {y_{B_2}}=0+\frac {6{,}75}{2}=\bold {3{,}375}$

$\quad \Rightarrow \bold {x_{B_2}}=5+3{,}375\cdot \sqrt {3}=10{,}845 \Rightarrow \bold {B_2(10{,}85 | 3{,}38)}$

Einzeichnen der gleichseitigen Dreiecke

geg.: $A_n(x|\frac {1}{5}\cdot x-1)$ auf $g$ und $C_n(x|−0{,}25\cdot x^2+2\cdot x+3)$ auf p mit derselben Abszisse x

ges.: Mögliche $x-$Werte für die Dreiecke $A_nB_nC_n$

Vorgehen unter d er Voraussetzung, dass Punkte $A_n$ und $C_n$ auf der Parabel $p$ liegen

$y_{A_n}=y_{C_n}$ setzen, Äquivalenzumformung zur quadratischen Gleichung, Lösung mit abc-Formel:

$\frac {1}{5}\cdot x-1= y=−0{,}25\cdot x^2+2\cdot x+3\qquad x∈ R$

$\frac {1}{5}\cdot x-1= y=−0{,}25\cdot x^2+2\cdot x+3$ $\qquad \blue {|- \frac {1}{5}\cdot x+1}$

$−0{,}25\cdot x^2+2\cdot x+3-\frac {1}{5}\cdot x+1=0 \qquad\:\:$| zusammenfassen

$−0{,}25\cdot x^2+\frac{9}{5}\cdot x+4=0$

$\Rightarrow −0{,}25\cdot x^2+1{,}8\cdot x+4=0$ $\qquad\qquad\quad$|abc-Formel anwenden

Diskriminante $D$ berechnen

$\bold {D=b^2-4\cdot a\cdot c}=1{,}8^2-4\cdot (-0{,}25)\cdot 4=3{,}24+4=\bold {7{,}24}$

$\Rightarrow \bold {D>0 \Leftrightarrow 2}$ Lösungen

Lösungen $x_{1{,}2}$ berechnen

$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1{,}8\pm\sqrt{7{,}24}}{2\cdot (-0{,}25)}=\frac{-1{,}8\pm 2{,}69}{-0{,}5}$

$⇒ x_{1}=\frac{-1{,}8+2{,}69}{-0{,}5}=-1{,}78$

$⇒ x_{2}=\frac{-1{,}8-2{,}69}{-0{,}5}=8{,}98$

$⇒ \mathbb{L}=\{-1{,}78;8{,}98\}$

Dreiecke $\bold {A_nB_nC_n}$ gibt es für $\bold {x∈ ]-1{,}78; 8{,}98[}$

geg.: $A_n(\bold {x}|\frac {1}{5}\cdot x-1)$ und $C_n(\bold x|−0{,}25\cdot x^2+2\cdot x+3)$

ges.: $|\overrightarrow {A_nC_n}|(x)$

Bestimmung des Vektors $\overrightarrow {A_nC_n}(x)$ aus den Punkten $A_n$und $C_n$

$\overrightarrow {A_nC_n}(x)=\text{Spitze\: minus\: Fuß\:}=\begin{pmatrix} \bold x\\−0{,}25\cdot x^2+2\cdot x+3) \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \bold x\\\frac {1}{5}\cdot x-1) \end{pmatrix}$

$\overrightarrow {A_nC_n}(x)=\begin{pmatrix} \bold {x-x}\\−0{,}25\cdot x^2+2\cdot x+3- \frac {1}{5}\cdot x+1\end{pmatrix}$

$\qquad \qquad =\begin{pmatrix} \bold 0\\ \bold {−0{,}25\cdot x^2+1{,}8\cdot x+4}\end{pmatrix}$

Berechnung der Vektorlänge $\overrightarrow {A_nC_n}(x)$ mit dem Satz des Pythagoras

$|\overrightarrow{A_nC_n}|(x)=\sqrt {\bold {0^2}+{(−0{,}25\cdot x^2+1{,}8\cdot x +4)}^2}$

$|\overrightarrow{A_nC_n}|(x)=\sqrt {{(−0{,}25\cdot x^2+1{,}8\cdot x +4)}^2}\qquad$| Wurzel und Quadrat heben sich auf

$\Rightarrow \bold {|\overrightarrow{A_nC_n}|(x)={{[−0{,}25\cdot x^2+1{,}8\cdot x +4]\: LE}}} \quad$mit $x\in \: ]-1{,}78; 8{,}98[$

geg.: Gleichung für Vektorlänge $|\overrightarrow {A_nC_n}|(x)$ (aus Aufgabe B 4.d)

ges.: max. $x-$Wert, max. Vektorlänge, maximale Fläche der Dreiecke $A_nB_nC_n$

Maximaler x-Wert und max. Streckenlänge $\overrightarrow {A_0C_0}$;

Die Länge von AC wird maximal beim Scheitelpunkt $\bold {S(-\frac {b}{2a} | c-\frac {b^2}{4a})}$ von p,

d.h. bei $\bold {x}_{max}=-\frac{b}{2a}=-\frac{1{,}8}{2\cdot (-0{,}25)}=\bold {3{,}6}$

${x}_{max.}$einsetzen in $|\overrightarrow {A_nC_n}|(x)={{[−0{,}25\cdot x^2+1{,}8\cdot x +4]\: LE}}$, $$ mit $x\in \: ]-1{,}78; 8{,}98[$

$\quad \Rightarrow |\overrightarrow {A_nC_n}| (x)_{max}=[−0{,}25\cdot (3{,}6)^2+1{,}8\cdot 3{,}6 +4]\: LE$

$\quad \Rightarrow |\overrightarrow {A_nC_n}| (x)_{max}=[−0{,}25\cdot 12{,}96+6{,}48 +4]\: LE$

$\quad \Rightarrow |\overrightarrow {A_nC_n}| (x)_{max}=[−3{,}24+6{,}48 +4]\: LE$

$\quad \Rightarrow \bold {|\overrightarrow {A_nC_n}|(x)_{max}=7{,}24\: LE} \quad \text{für}\: x=3{,}6$

Maximaler Flächeninhalt der gleichseitigen Dreiecke $A_nB_nC_n$:

Für allgemeines Dreieck gilt: $A_∆=\frac {1}{2}\cdot a \cdot h$ mit $h=\sqrt {3}\cdot \frac {a}{2}$

Werte für $a=|\overrightarrow {A_nC_n}| (x)_{max}=7{,}24\: LE$ und $h=\sqrt {3}\cdot \frac {7{,}24}{2}$ einsetzen und Fläche berechnen:

$\quad \Rightarrow A_{∆max}=\frac {1}{2}\cdot 7{,}24 [LE] \cdot \sqrt {3}\cdot \frac {7{,}24}{2} [LE]$

$\bold {A_{∆max}}=3{,}62 \cdot \sqrt {3}\cdot 3{,}62=13{,}1044\cdot 1{,}732 =22{,}69748 \approx \bold {22{,}70 \:[FE]}$

geg.: Gerade $g$ und Strecke $\overline {A_nB_n}$

ges.: Winkel $\varphi$ zwischen $g$ und $\overline {A_nB_n}$

Die Steigung der Geraden

$g: \: y=\frac{1}{5}\cdot x-1$ ist $m=\frac{1}{5}$ $\Rightarrow \tanα=\frac{1}{5}\: \Rightarrow \bold {∡α =11{,}31°}$

Der Winkel im gleichseitigen Dreieck: $∡B_nA_nC_n =60°$

Winkel $\varphi$ (siehe Zeichnung):

$\Rightarrow \bold {φ}=90°-60°-11{,}31°=\bold {18{,}69°}$

geg.: Pyramide $ABCDS$; $G_{Pyramide\ ABCD}$ ist eine Raute mit $A_{Raute}=\frac {1}{2}\cdot e \cdot f$ oder

$A_{Raute}=a\cdot h_a$ ; $|\overline {AC}| =11\: cm; |\overline {BD}|=6\:cm;$ Höhe $|\overline {AS}|=9\: cm$

ges.: Schrägbild der Pyramide $ABCDS$; Länge der Strecke $|\overline {CS}|$; $∡SCA$

Zeichnung Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ mit Schrägbildachse $\overline {AC}$

$A$ links von $C$; $q=\frac {1}{2}$; $\omega =45°$ $\Rightarrow |\overline{BD}|_{in \:Zeichnung}=\frac {1}{2} \cdot 6=3\:cm$

Berechnung Länge der Strecke $|\overline{CS}|$ mit Pythagoras:

$|\overline {AC}|^2+|\overline {AS}|^2=|\overline {CS}|^2$

$\Rightarrow |\overline {CS}|=\sqrt{|\overline {AC}|^2+|\overline {AS}|^2}$

$\Rightarrow |\overline {CS}|=\sqrt{11^2+9^2}=\sqrt{121+81}=\sqrt{202}=\bold {14{,}21\: cm}$

Berechnung $∡SCA$ mit Tangens:

$\tan∡SCA=\frac{GK}{HY}=\frac{AS}{AC}=\frac{9\:cm}{11\:cm}=0,\overline {81}$

$\Rightarrow \bold {∡SCA=39{,}29°}$

geg.: $|\overline {SP_n}|(x)=x\:cm$, mit $c ∈ R; \quad 0\leq x\leq 14{,}21$ (siehe Aufgabe B 4a)

$P_n∈\overline {CS}$ sind die Spitzen von $ABDP_n$ mit Höhe $=\overline {P_nF_n}$

ges.: Zeichnung Pyramide $ABDP_1$ für $x=3$, Höhe $=\overline {P_1F_1}$ und $∡ SP_1A$

Einzeichnen der Pyramide $ABDP_1$ für $x=3$ und der Höhe $=\overline {P_1F_1}$ siehe Graphik

Berechnung $∡SP_1A$ mithilfe Sinussatz:

$\Rightarrow \bold {\frac{sin∡SP_1A}{|\overline {AS}|}=\frac{sin∡ASP_1}{|\overline {AP_1}|}}$

die noch fehlenden Größen $∡ASP_1$ und $|\overline {AP_1}|$ werden wie folgt berechnet:

$\qquad$a) $∡ASP_1=180°−90°−39{,}29° \Rightarrow ∡ASP_1=50{,}71°$

$\qquad$b) $|\overline {AP_1}|$ mithilfe Kosinusssatz: $a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \cos⁡(α)$

$\qquad\quad \Rightarrow |\overline {AP_1}|^2=|\overline {AS}|^2+|\overline {SP_1}|^2-2\cdot |\overline {AS}|\cdot|\overline {SP_1}|\cdot \cos (50{,}71°)$

$\qquad$Einsetzen der Werte und berechnen:

$\qquad |\overline{AP_1}| = \sqrt{9^2+3^2-2\cdot9\cdot3 \cdot \cos(50{,}71°)}$ , mit $\cos(50{,}71°)=0{,}63325$