Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 6

Betrachtet wird ein Dreieck $A B C$ mit $A(0|0| 0)$ und $B(3|5|-4)$ . Das Dreieck hat die folgenden Eigenschaften:

Das Dreieck ist sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig.
$\overline{A B}$ ist eine Kathete des Dreiecks.
Die zweite Kathete des Dreiecks liegt in der $x z$ -Ebene.

Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punkts, der für $C$ infrage kommt. (5 BE)

1. Gleichung - rechtwinklige Katheten

Die Katheten $\overrightarrow{AC},~ \overrightarrow{AB}$ stehen senkrecht aufeinander. Es gilt:

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\5\\-4\end{pmatrix}$
	↓	Skalarprodukt ausrechnen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3x-4z$

Aus dieser Gleichung lässt sich $x=\frac43 z$ bestimmen. Das wird später gebraucht.

2. Gleichung - Länge der Katheten

Die Katheten $\overrightarrow{AC},~ \overrightarrow{AB}$ sind gleich lang laut der Aufgabenstellung, denn sie bilden ein gleichschenkliges Dreieck. Damit gilt:

$\displaystyle \|\overrightarrow{AC}\|$	$=$	$\displaystyle \|\overrightarrow{AB}\|$
$\displaystyle \sqrt{x^2+z^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3^2+5^2+(-4)^2}$
$\displaystyle \sqrt{x^2+z^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{50}$	$\displaystyle ()^2$
$\displaystyle x^2+z^2$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Setze $x=\frac43 z$ ein.
$\displaystyle \frac{16}{9} z^2+z^2$	$=$	$\displaystyle 50$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle \frac{25}{9} z^2$	$=$	$\displaystyle 50$	$\displaystyle \cdot \frac{9}{25}$
$\displaystyle z^2$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{18}$

Eine mögliche Lösung ist also $z=\pm\sqrt{18}=\pm 3\sqrt{2}$ .

Bestimme den Punkt $C$

Mit der Gleichung $x=\frac43 z$ gilt für $x$ : $x=\pm\frac43 \sqrt{18}=\pm \frac{4}{3}3\sqrt{2}=\pm 4\sqrt{2}$

Damit ist $C(\frac43 \sqrt{18}\mid 0\mid \sqrt{18})=C(4\sqrt{2}|0|3\sqrt{2})$ oder $C(-\frac43 \sqrt{18}\mid 0\mid -\sqrt{18})=C(-4\sqrt{2}|0|-3\sqrt{2})$ .

Hinweis: Die Aufgabenstellung erfordert nur einen Punkt $C$ , hier wurden beide Möglichkeiten angegeben.

VorsichtAndere Darstellungen der Lösung

Je nachdem in welcher Reihenfolge $x$ und $z$ bestimmt werden, kann $C$ anders dargestellt sein. Ebenso korrekt wäre:

$C(\sqrt{32}\mid 0\mid \frac34\sqrt{32})$ bzw. $C(-\sqrt{32}\mid 0\mid -\frac34\sqrt{32})$ .

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Aufgabe 6

1. Gleichung - rechtwinklige Katheten

2. Gleichung - Länge der Katheten

Bestimme den Punkt CCC

Bestimme den Punkt $C$