Um ein Dreieck zu berechnen, braucht man (mindestens) drei Größen. Hier sind die Möglichkeiten zusammengestellt:
Hilfsmittel
Die Winkelsumme im Dreieck ist
In den Skizzen sind die bekannten Größen in blau und die gesuchten in rot eingezeichnet
1) Berechne einen Winkel mit dem Kosinussatz.
2) Den zweiten Winkel kannst du mit dem Kosinussatz oder (einfacher) mit dem Sinussatz berechnen.
3) Den dritten Winkel erhältst du aus der Winkelsumme.
Beispiel
Gegeben sind die Seiten , und .
1) Berechne z.B. durch den Kosinussatz:
Dann ist .
2) Berechne mit dem Sinussatz:
Dann ist
Hinweis: der andere mögliche Wert für , , kommt nicht infrage, weil das dann sicher der größte Winkel wäre, und nach dem Sinussatz dem größten Winkel die größte Seite gegenüberliegt. ist aber nicht die größte Seite.
3) erhältst du über die Winkelsumme:
Hinweis: Da bei diesen Rechnungen mehrfach gerundet wird, sind die Ergebnisse nicht sehr genau. Das gilt auch in den anderen Beispielen.
SWS Zwei Seiten und der Winkel dazwischen
1) Berechne die fehlende Seite mit dem Kosinussatz.
2) Berechne einen zweiten Winkel mit dem Sinussatz.
3) Berechne den dritten Winkel über die Winkelsumme.
Beispiel
Gegeben sind die Seiten , und .
2) Berechne z.B. den Winkel mit dem Sinussatz:
Dann ist oder . Dieser zweite Wert ist wegen der Winkelsumme unmöglich.
3) Berechne über die Winkelsumme:
SSW Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel
1) Bestimme den anderen Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt (in der Skizze ), mit dem Sinussatz.
2) Bestimme den dritten Winkel mit der Winkelsumme.
3) Bestimme die dritte Seite mit dem Sinussatz.
Achtung! Es ist möglich, dass es im ersten Schritt zwei, eine oder keine Lösung der Gleichung gibt! Eventuell musst du bei zwei Lösungen weitere Informationen verwenden.
Wenn die Seite, die an den Winkel angrenzt, kürzer ist als die andere, gibt es auf alle Fälle nur eine Lösung.
Beispiel 1
Gegeben sind die Seiten , und .
1) Dann ist .
Dies ist unmöglich, so ein Dreieck gibt es nicht.
Beispiel 2
Gegeben sind die Seiten , und .
1) Dann ist mit dem Sinussatz .
Damit ist oder . Dieser zweite Wert ist aber unmöglich, da die Winkelsumme ist und schon bekannt ist.
2) Mit der Winkelsumme ist .
3) Mit dem Sinussatz ist .
Beispiel 3
Gegeben sind die Seiten , und .
1) Dann ist mit dem Sinussatz .
Damit ist oder .
Diesmal gibt es also zwei mögliche Werte: und
2) Mit der Winkelsumme ist
und
.
WSW Eine Seite und zwei Winkel
1) Berechne den dritten Winkel mit der Winkelsumme
2) + 3) Berechne die anderen Seiten mit dem Sinussatz.
Beispiel
Gegeben sind , und .
1) Dann ist mit der Winkelsumme