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Dreiecksberechnung mit Sinus- und Kosinussatz

Um ein Dreieck zu berechnen, braucht man (mindestens) drei Größen. Hier sind die Möglichkeiten zusammengestellt:

Hilfsmittel

In den Skizzen sind die bekannten Größen in blau und die gesuchten in rot eingezeichnet

SSS Drei Seiten

Bild

1) Berechne einen Winkel mit dem Kosinussatz.

2) Den zweiten Winkel kannst du mit dem Kosinussatz oder (einfacher) mit dem Sinussatz berechnen.

3) Den dritten Winkel erhältst du aus der Winkelsumme.

Beispiel

Gegeben sind die Seiten a=4 cma=4\text{ cm}, b=5 cmb=5\text{ cm} und c=7 cmc=7\text{ cm}.

1) Berechne z.B. cos(α)\cos (\alpha) durch den Kosinussatz:

cos(α)=b2+c2a22bc=52+7242257=5870\displaystyle\cos(\alpha)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\,b\,c}=\frac{5^2+7^2-4^2}{2\cdot5\cdot7}=\frac{58}{70}

Dann ist α=cos1(5870)=34,05\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{58}{70}\right)=34{,}05^\circ.

2) Berechne β\beta mit dem Sinussatz:

sin(β)=basin(α)=540,56=0,70\displaystyle\sin(\beta)=\frac{b}{a}\sin(\alpha)=\frac{5}{4}\cdot0{,}56=0{,}70

Dann ist β=sin1(0,70)=44,42\beta=\sin^{-1}(0{,}70)=44{,}42^\circ

Hinweis: der andere mögliche Wert für β\beta, 18044,42=135,58180^\circ-44{,}42^\circ=135{,}58^\circ, kommt nicht infrage, weil das dann sicher der größte Winkel wäre, und nach dem Sinussatz dem größten Winkel die größte Seite gegenüberliegt. bb ist aber nicht die größte Seite.

3) γ\gamma erhältst du über die Winkelsumme:

γ=180αβ=18034,0544,42=101,53\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-34{,}05^\circ-44{,}42^\circ=101{,}53^\circ

Hinweis: Da bei diesen Rechnungen mehrfach gerundet wird, sind die Ergebnisse nicht sehr genau. Das gilt auch in den anderen Beispielen.

SWS Zwei Seiten und der Winkel dazwischen

Bild

1) Berechne die fehlende Seite mit dem Kosinussatz.

2) Berechne einen zweiten Winkel mit dem Sinussatz.

3) Berechne den dritten Winkel über die Winkelsumme.

Beispiel

Gegeben sind die Seiten b=5 cmb=5\text{ cm}, c=8 cmc=8\text{ cm} und α=60\alpha=60^\circ.

1) Berechne aa durch den Kosinussatz:

a2=b2+c22bccos(α)=52+82258cos(60)=898012=49a^2=b^2+c^2-2\,b\,c \cos (\alpha)=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cdot\cos(60^\circ)=89-80\cdot\frac{1}{2}=49

Also ist a=49 cm=7 cma=\sqrt{49}\text{ cm} =7\text{ cm}

2) Berechne z.B. den Winkel β\beta mit dem Sinussatz:

sin(β)=basin(α)=57sin(60)\displaystyle\sin(\beta)=\frac{b}{a}\sin(\alpha)=\frac{5}{7}\sin(60^\circ)

Dann ist β=sin1(57sin(60))=38,21\beta=\sin^{-1}\left(\dfrac{5}{7}\sin(60^\circ) \right)=38{,}21^\circ oder β=141,79\beta=141{,}79^\circ. Dieser zweite Wert ist wegen der Winkelsumme unmöglich.

3) Berechne γ\gamma über die Winkelsumme:

γ=1806038,21=81,79\gamma=180^\circ-60^\circ-38{,}21^\circ=81{,}79^\circ

SSW Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel

Bild

1) Bestimme den anderen Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt (in der Skizze γ\gamma), mit dem Sinussatz.

2) Bestimme den dritten Winkel mit der Winkelsumme.

3) Bestimme die dritte Seite mit dem Sinussatz.

Achtung! Es ist möglich, dass es im ersten Schritt zwei, eine oder keine Lösung der Gleichung gibt! Eventuell musst du bei zwei Lösungen weitere Informationen verwenden.

Wenn die Seite, die an den Winkel angrenzt, kürzer ist als die andere, gibt es auf alle Fälle nur eine Lösung.

Beispiel 1

Gegeben sind die Seiten a=1 cma=1\text{ cm}, c=2 cmc=2\text{ cm} und α=90\alpha=90^\circ.

1) Dann ist sin(γ)=casin(α)=211=2\displaystyle\sin(\gamma)=\frac{c}{a}\sin(\alpha)=\frac{2}{1}\cdot 1=2.

Dies ist unmöglich, so ein Dreieck gibt es nicht.

Beispiel 2

Gegeben sind die Seiten a=2 cma=2\text{ cm}, c=1 cmc=1\text{ cm} und α=90\alpha=90^\circ.

1) Dann ist mit dem Sinussatz sin(γ)=casin(α)=121=12\displaystyle\sin(\gamma)=\frac{c}{a}\sin(\alpha)=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Damit ist γ=30\gamma=30^\circ oder γ=150\gamma=150^\circ. Dieser zweite Wert ist aber unmöglich, da die Winkelsumme 180180^\circ ist und α=90\alpha=90^\circ schon bekannt ist.

2) Mit der Winkelsumme ist β=1809030=60\beta=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ.

3) Mit dem Sinussatz ist b=sin(β)sin(α)a=sin(60)sin(90)2 cm=1,73 cm\displaystyle b=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha) }\cdot a =\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(90^\circ)}\cdot2\text{ cm}=1{,}73\text{ cm}.

Beispiel 3

Gegeben sind die Seiten a=2 cma=2\text{ cm}, c=3 cmc=3\text{ cm} und α=30\alpha=30^\circ.

1) Dann ist mit dem Sinussatz sin(γ)=casin(α)=3212=34=0,75\displaystyle\sin(\gamma)=\frac{c}{a}\sin(\alpha)=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}=0{,}75.

Damit ist γ=sin1(0,75)=48,59\gamma=\sin^{-1}(0{,}75)=48{,}59^\circ oder γ=18048,59=131,41\gamma=180^\circ-48{,}59^\circ=131{,}41^\circ.

Diesmal gibt es also zwei mögliche Werte: γ1=48,59\gamma_1=48{,}59^\circ und γ2=131,41\gamma_2=131{,}41^\circ

2) Mit der Winkelsumme ist

β1=1803048,59=101,41\beta_1=180^\circ-30^\circ-48{,}59^\circ=101{,}41^\circ und

β2=18030131,41=18,59\beta_2=180^\circ-30^\circ-131{,}41^\circ=18{,}59^\circ.

3) Mit dem Sinussatz ist

b1=sin(β1)sin(α)a=0,980,52 cm=3,92 cm\displaystyle b_1=\frac{\sin(\beta_1)}{\sin(\alpha) }\cdot a =\frac{0{,}98}{0{,}5}\cdot2\text{ cm}=3{,}92\text{ cm} und

b2=sin(β2)sin(α)a=0,320,52 cm=1,28 cm\displaystyle b_2=\frac{\sin(\beta_2)}{\sin(\alpha) }\cdot a=\frac{0{,}32}{0{,}5}\cdot2\text{ cm}=1{,}28\text{ cm}

WSW Eine Seite und zwei Winkel

Bild

1) Berechne den dritten Winkel mit der Winkelsumme

2) + 3) Berechne die anderen Seiten mit dem Sinussatz.

Beispiel

Gegeben sind α=45\alpha=45^\circ, β=105\beta=105^\circ und c=2 cmc=2\text{ cm}.

1) Dann ist mit der Winkelsumme γ=18045105=30.\gamma=180^\circ-45^\circ-105^\circ=30^\circ.

2) + 3) Mit dem Sinussatz werden die anderen Seiten berechnet:

a=sin(α)sin(γ)c=sin(45)sin(30)2 cm=2,83 cm\displaystyle a=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\cdot c =\frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}\cdot2\text{ cm}=2{,}83\text{ cm}

b=sin(β)sin(γ)c=sin(105)sin(30)2 cm=3,86 cm\displaystyle b=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\cdot c =\frac{\sin(105^\circ)}{\sin(30^\circ)}\cdot2\text{ cm}=3{,}86\text{ cm}


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