Dreiecksberechnung mit Sinus- und Kosinussatz

Hilfsmittel

• Die Winkelsumme im Dreieck ist ${180}^{\circ }$

• Sinussatz

• Kosinussatz

In den Skizzen sind die bekannten Größen in blau und die gesuchten in rot eingezeichnet

SSS Drei Seiten

Beispiel

Gegeben sind die Seiten $a=4\text{ cm}$, $b=5\text{ cm}$ und $c=7\text{ cm}$.

1) Berechne z.B. $\cos (\alpha )$ durch den Kosinussatz:

$${\displaystyle \cos (\alpha )=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+7^2-4^2}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{58}{70}}$$

Dann ist $\alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{58}{70}\right)={\mathrm{34,05}}^{\circ }$.

2) Berechne $\beta$ mit dem Sinussatz:

$${\displaystyle \sin (\beta )=\frac{b}{a}\sin (\alpha )=\frac{5}{4}\cdot \mathrm{0,56}=\mathrm{0,70}}$$

Dann ist $\beta ={\sin }^{-1}(\mathrm{0,70})={\mathrm{44,42}}^{\circ }$

Hinweis: der andere mögliche Wert für $\beta$, ${180}^{\circ }-{\mathrm{44,42}}^{\circ }={\mathrm{135,58}}^{\circ }$, kommt nicht infrage, weil das dann sicher der größte Winkel wäre, und nach dem Sinussatz dem größten Winkel die größte Seite gegenüberliegt. $b$ ist aber nicht die größte Seite.

3) $\gamma$ erhältst du über die Winkelsumme:

$\gamma ={180}^{\circ }-\alpha -\beta ={180}^{\circ }-{\mathrm{34,05}}^{\circ }-{\mathrm{44,42}}^{\circ }={\mathrm{101,53}}^{\circ }$

Hinweis: Da bei diesen Rechnungen mehrfach gerundet wird, sind die Ergebnisse nicht sehr genau. Das gilt auch in den anderen Beispielen.

SWS Zwei Seiten und der Winkel dazwischen

Beispiel

Gegeben sind die Seiten $b=5\text{ cm}$, $c=8\text{ cm}$ und $\alpha ={60}^{\circ }$.

1) Berechne $a$ durch den Kosinussatz:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos (\alpha )=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos ({60}^{\circ })=89-80\cdot \frac{1}{2}=49$

Also ist $a=\sqrt{49}\text{ cm}=7\text{ cm}$

2) Berechne z.B. den Winkel $\beta$ mit dem Sinussatz:

$${\displaystyle \sin (\beta )=\frac{b}{a}\sin (\alpha )=\frac{5}{7}\sin ({60}^{\circ })}$$

Dann ist $\beta ={\sin }^{-1}({\displaystyle \frac{5}{7}}\sin ({60}^{\circ }))={\mathrm{38,21}}^{\circ }$ oder $\beta ={\mathrm{141,79}}^{\circ }$. Dieser zweite Wert ist wegen der Winkelsumme unmöglich.

3) Berechne $\gamma$ über die Winkelsumme:

$\gamma ={180}^{\circ }-{60}^{\circ }-{\mathrm{38,21}}^{\circ }={\mathrm{81,79}}^{\circ }$

SSW Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel

Beispiel 1

Gegeben sind die Seiten $a=1\text{ cm}$, $c=2\text{ cm}$ und $\alpha ={90}^{\circ }$.

1) Dann ist $${\displaystyle \sin (\gamma )=\frac{c}{a}\sin (\alpha )=\frac{2}{1}\cdot 1=2}$$.

Dies ist unmöglich, so ein Dreieck gibt es nicht.

Beispiel 2

Gegeben sind die Seiten $a=2\text{ cm}$, $c=1\text{ cm}$ und $\alpha ={90}^{\circ }$.

1) Dann ist mit dem Sinussatz $${\displaystyle \sin (\gamma )=\frac{c}{a}\sin (\alpha )=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}}$$.

Damit ist $\gamma ={30}^{\circ }$ oder $\gamma ={150}^{\circ }$. Dieser zweite Wert ist aber unmöglich, da die Winkelsumme ${180}^{\circ }$ ist und $\alpha ={90}^{\circ }$ schon bekannt ist.

2) Mit der Winkelsumme ist $\beta ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$.

3) Mit dem Sinussatz ist $${\displaystyle b=\frac{\sin (\beta )}{\sin (\alpha )}\cdot a=\frac{\sin ({60}^{\circ })}{\sin ({90}^{\circ })}\cdot 2\text{ cm}=\mathrm{1,73}\text{ cm}}$$.

Beispiel 3

Gegeben sind die Seiten $a=2\text{ cm}$, $c=3\text{ cm}$ und $\alpha ={30}^{\circ }$.

1) Dann ist mit dem Sinussatz $${\displaystyle \sin (\gamma )=\frac{c}{a}\sin (\alpha )=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}}$$.

Damit ist $\gamma ={\sin }^{-1}(\mathrm{0,75})={\mathrm{48,59}}^{\circ }$ oder $\gamma ={180}^{\circ }-{\mathrm{48,59}}^{\circ }={\mathrm{131,41}}^{\circ }$.

Diesmal gibt es also zwei mögliche Werte: ${\gamma }_1={\mathrm{48,59}}^{\circ }$ und ${\gamma }_2={\mathrm{131,41}}^{\circ }$

2) Mit der Winkelsumme ist

${\beta }_1={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{\mathrm{48,59}}^{\circ }={\mathrm{101,41}}^{\circ }$ und

${\beta }_2={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{\mathrm{131,41}}^{\circ }={\mathrm{18,59}}^{\circ }$.

3) Mit dem Sinussatz ist

$${\displaystyle b_1=\frac{\sin ({\beta }_1)}{\sin (\alpha )}\cdot a=\frac{\mathrm{0,98}}{\mathrm{0,5}}\cdot 2\text{ cm}=\mathrm{3,92}\text{ cm}}$$ und

$${\displaystyle b_2=\frac{\sin ({\beta }_2)}{\sin (\alpha )}\cdot a=\frac{\mathrm{0,32}}{\mathrm{0,5}}\cdot 2\text{ cm}=\mathrm{1,28}\text{ cm}}$$

WSW Eine Seite und zwei Winkel

Beispiel

Gegeben sind $\alpha ={45}^{\circ }$, $\beta ={105}^{\circ }$ und $c=2\text{ cm}$.

1) Dann ist mit der Winkelsumme $\gamma ={180}^{\circ }-{45}^{\circ }-{105}^{\circ }={30}^{\circ }.$

2) + 3) Mit dem Sinussatz werden die anderen Seiten berechnet:

$${\displaystyle a=\frac{\sin (\alpha )}{\sin (\gamma )}\cdot c=\frac{\sin ({45}^{\circ })}{\sin ({30}^{\circ })}\cdot 2\text{ cm}=\mathrm{2,83}\text{ cm}}$$

$${\displaystyle b=\frac{\sin (\beta )}{\sin (\gamma )}\cdot c=\frac{\sin ({105}^{\circ })}{\sin ({30}^{\circ })}\cdot 2\text{ cm}=\mathrm{3,86}\text{ cm}}$$