Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

Der Sinus- und der Kosinussatz stellen Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln in beliebigen Dreiecken her.

Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten $\sf a$ , $\sf b$ , $\sf c$ und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln $\sf \alpha$ , $\sf \beta$ , $\sf \gamma$ gilt:

Sinussatz

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\displaystyle \sf \dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}.

Kosinussatz

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Alternative Formulierung des Sinussatzes

Durch Umformungen kann man den Sinussatz auch auf folgende Formen bringen:

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\displaystyle \sf \dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}.

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\displaystyle \sf \dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}.

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\displaystyle \sf \dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}.

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\displaystyle \sf \dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}.

Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes

Für $\sf \gamma=90^\circ$ erhält man ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt $\sf \cos(90^\circ)=0$ . Damit ist der Satz des Pythagoras $\sf c^2=a^2+b^2$ ein Spezialfall des Kosinussatzes.

Beispiel

Im Dreieck $\sf ABC$ seien die Werte $\sf a=6{,}10$ , $\sf \alpha=45^\circ$ , $\sf \beta=55^\circ$ und damit auch $\sf \gamma=80^\circ$ gegeben.

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Berechne zuerst mit Hilfe des Sinussatzes die Länge der Seite $\sf b$ :

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\displaystyle \sf \dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}.

Setze die bekannten Werte ein.

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\displaystyle \sf \dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}.

Löse nach $\sf b$ auf.

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\displaystyle \sf \dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}.

Berechne nun mit Hilfe des Kosinussatzes die Länge der Seite $\sf c$ :

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\displaystyle \sf \dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}.

Setze die Werte ein.

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\displaystyle \sf \dfrac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\dfrac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\dfrac{c}{\sin\left(\gamma\right)}.

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