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Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

Der Sinus- und der Kosinussatz stellen Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln in beliebigen Dreiecken her.

Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten aa, bb, cc  und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln α\alpha, β\beta, γ\gamma gilt:

Sinussatz

asin⁡(α)=bsin⁡(β)=csin⁡(γ).\displaystyle \frac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{\sin\left(\gamma\right)}._{ }^{ }

Kosinussatz

  • c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡(γ)c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\gamma\right)

  • b2=a2+c2−2ac⋅cos⁡(β)b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos\left(\beta\right)

  • a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡(α)a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos\left(\alpha\right)

Wenn du den Winkel berechnen willst, musst du nach den Kosinuswerten umformen:

  • cos⁡(γ)=a2+b2−c22ab\cos(\gamma)=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}, und γ=cos⁡−1(a2+b2−c22ab)\gamma=\cos^{-1}\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)

  • cos⁡(β)=a2+c2−b22ac\cos(\beta)=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}, und β=cos⁡−1(a2+c2−b22ac)\beta=\cos^{-1}\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)

  • cos⁡(α)=b2+c2−a22bc\cos(\alpha)=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, und α=cos⁡−1(b2+c2−a22bc)\alpha=\cos^{-1}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)

Bild

Alternative Formulierung des Sinussatzes

Durch Umformungen kann man den Sinussatz auch auf folgende Formen bringen:

sin⁡(α)a=sin⁡(β)b=sin⁡(γ)c.\displaystyle \frac{\sin\left(\alpha\right)}{a}=\frac{\sin\left(\beta\right)}{b}=\frac{\sin\left(\gamma\right)}{c}.

ab=sin⁡(α)sin⁡(β)ac=sin⁡(α)sin⁡(γ)bc=sin⁡(β)sin⁡(γ)\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{\sin\left(\alpha\right)}{\sin\left(\beta\right)}\qquad\qquad\qquad \frac{a}{c}=\frac{\sin\left(\alpha\right)}{\sin\left(\gamma\right)}\qquad\qquad\qquad\frac{b}{c}=\frac{\sin\left(\beta\right)}{\sin\left(\gamma\right)}

Man kann nach den einzelnen Größen auflösen:

a=bsin⁡(β)⋅sin⁡(α)=csin⁡(γ)⋅sin⁡(α)\displaystyle a=\frac{b}{\sin(\beta)}\cdot \sin(\alpha) =\frac{c}{\sin(\gamma)}\cdot \sin(\alpha)

b=asin⁡(α)⋅sin⁡(β)=csin⁡(γ)⋅sin⁡(β)\displaystyle b=\frac{a}{\sin(\alpha)}\cdot \sin(\beta) =\frac{c}{\sin(\gamma)}\cdot \sin(\beta)

c=asin⁡(α)⋅sin⁡(γ)=bsin⁡(β)⋅sin⁡(γ)\displaystyle c=\frac{a}{\sin(\alpha)}\cdot \sin(\gamma) =\frac{b}{\sin(\beta)}\cdot \sin(\gamma)

Auflösung nach den Winkeln:

α=sin⁡−1(absin⁡(β))=sin⁡−1(acsin⁡(γ))\displaystyle \alpha=\sin^{-1}\left(\frac{a}{b}\sin(\beta)\right)= \sin^{-1}\left(\frac{a}{c}\sin(\gamma)\right)
β=sin⁡−1(basin⁡(α))=sin⁡−1(bcsin⁡(γ))\displaystyle \beta= \sin^{-1}\left(\frac{b}{a}\sin(\alpha)\right)= \sin^{-1}\left(\frac{b}{c}\sin(\gamma)\right)
γ=sin⁡−1(casin⁡(α))=sin⁡−1(cbsin⁡(β))\displaystyle \gamma=\sin^{-1}\left(\frac{c}{a}\sin(\alpha)\right)= \sin^{-1}\left(\frac{c}{b}\sin(\beta)\right)

Beachte

Wenn du aus einem Sinuswert in einem Dreieck den Winkel berechnen willst, beachte, dass die Gleichung sin⁡(α)=x\sin(\alpha)=x für Winkel zwischen 0∘0^\circ und 180∘180^\circ zwei Lösungen hat:

mit dem α\alpha, das dir dein Taschenrechner mit der Eingabe sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) anzeigt, ist auch 180∘−α180^\circ-\alpha eine Lösung.

Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes

Für γ=90∘\gamma=90^\circ erhält man ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt cos⁡(90∘)=0\cos(90^\circ)=0. Damit ist der Satz des Pythagoras c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 ein Spezialfall des Kosinussatzes.

Beispiel

Im Dreieck ABCABC seien die Werte  a=6,10a=6{,}10, α=45∘\mathrm\alpha=45^\circ, β=55∘\beta=55^\circ und damit auch γ=80∘\gamma=80^\circ gegeben.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6534_HjoYFV5sL9.xml

Berechne zuerst mithilfe des Sinussatzes die Länge der Seite bb:

asin⁡(α)=bsin⁡(β)\displaystyle \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin\left(\beta\right)}

Setze die bekannten Werte ein.

6,1sin⁡(45∘)=bsin⁡(55∘)\displaystyle \frac{6{,}1}{\sin\left(45^{\circ}\right)}=\frac{b}{\sin\left(55^{\circ}\right)}

Löse nach bb auf.

⇒b=6,1⋅sin⁡(55∘)sin⁡(45∘)=7,1\displaystyle \Rightarrow b=\frac{6{,}1\cdot\sin(55^{\circ})}{\sin(45^{\circ})}=7{,}1

Berechne nun mithilfe des Kosinussatzes die Länge der Seite cc:

c=a2+b2−2ab⋅cos⁡(γ)\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\gamma\right)}

Setze die Werte ein.

=6,12+7,12−2⋅6,1⋅7,1⋅cos⁡(80∘)=8,5\displaystyle =\sqrt{6{,}1^2+7{,}1^2-2\cdot6{,}1\cdot7{,}1\cdot\cos\left(80^{\circ}\right)}=8{,}5

Video

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Übungsaufgaben: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Sinussatz und Kosinussatz


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