Aufgaben zu Sinussatz und Kosinussatz

Hier findest du Rechenaufgaben zum Sinus- und Kosinussatz, mit denen du deren Anwendung lernst.

Berechne die (rot markierten) gesuchten Größen. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kosinussatz
Gegeben: $a = 4$ $b = 6$ $γ = 67^{\circ}$
Gesucht: $c = ?$
Der gegebene Winkel ist von den beiden gegebenen Seiten eingeschlossen. Verwende deshalb den Kosinussatz.
$c^{2}$ $=$ $a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ)$
↓
Setze die gegebenen Werte ein.
$c^{2}$ $=$ $4^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos (67^{\circ})$
↓
Rechne die rechte Seite zusammen.
$c^{2}$ $\approx$ $33,24$ $\sqrt{}$
↓
Ziehe die Wurzel. Runde auf 2 Nachkommastellen.
$c$ $\approx$ $5,77$
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Berechne die fehlenden Größen des Dreiecks, indem du den Kosinus- und Sinussatz anwendest.
Gegeben ist: $β = {36,1}^{\circ}$ ; $b = 9,5 cm$ und $γ = {111,5}^{\circ}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz
Berechne zuerst mit Hilfe des Sinussatzes die Länge der Seite c:
$\frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}$ Setze die bekannten Werte ein
$\frac{9,5}{\sin ({36,1}^{\circ})} = \frac{c}{\sin ({111,5}^{\circ})}$ Löse nach c auf.
$\Rightarrow c = \frac{9,5 \cdot \sin ({111,5}^{\circ})}{\sin ({36,1}^{\circ})} = 15,0$
Berechne nun mit Hilfe des Kosinussatzes die Länge der Seite $a$ :
$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α)}$
$= \sqrt{{9,5}^{2} + {15,0}^{2} - 2 \cdot 9,5 \cdot 15,0 \cdot \cos ({32,4}^{\circ})} = 8,6$
Der Winkel $α$ läßt sich berechnen aus:
180 $^{\circ}$ - ( $γ + β)$ = $180^{\circ} - ({111,5}^{\circ} + {36,1}^{\circ}) = 180^{\circ} - {147,6}^{\circ} = {32,4}^{\circ}$
3
Die Skizze zeigt ein Parallelogramm mit den Seitenlängen: $a = 6 cm$ und $b = 8 cm$ und dem Winkel $α = 70^{\circ}$ .
Berechne den Winkel $ε$ .
°
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften eines Parallelogramms
Insbesondere benötigst du folgende Regeln:
Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren sich.
Benachbarte Winkel ergänzen sich zu $180^{\circ}$ .
Zielgleichung aufstellen
Zunächst suchen wir eine Gleichung, die den gesuchten Winkel $ε$ enthält. Im Parallelogramm sind zunächst nur die Seitenlängen $a$ und $b$ sowie der Winkel $α$ bekannt. Da die Seite $a$ dem gesuchten Winkel gegenüberliegt, bietet sich der Kosinussatz für $a$ an.
Da sich in einem Parallelogramm die Diagonalen halbieren, haben die Seiten, die am Winkel $ε$ anliegen, die Länge $\frac{e}{2}$ bzw. $\frac{f}{2}$ . Die Zielgleichung ist also:
$a^{2} = {(\frac{e}{2})}^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{e}{2} \cdot \frac{f}{2} \cdot \cos (ε)$
Zielgleichung vereinfachen
Um später weniger rechnen zu müssen, kannst du die Gleichung durch Ausklammern und Kürzen vereinfachen:
$a^{2} = \frac{1}{4} (e^{2} + f^{2}) - \frac{e \cdot f}{2} \cdot \cos (ε)$
Fehlende Größen berechnen
Die Längen von $e$ und $f$ kannst du mit dem Kosinussatz berechnen. Es gilt:
$e^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (α)$
$f^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (β)$
In einem Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel zu $180 °$ . Also ist $β = 180 ° - α$ . Zusammen mit den Supplementbeziehungen für Sinus und Kosinus gilt:
$\cos (β) = \cos (180 ° - α) = - \cos (α)$
Damit berechnest du die Werte von $e^{2}, f^{2}$ bzw. $e, f$ :
$\begin{array}{lr} e^{2} = 100 - 96 \cdot \cos (α) \approx 67,17; & e \approx 8,20 \\ f^{2} = 100 + 96 \cdot \cos (α) \approx 132,83; & f \approx 11,53 \end{array}$
Einsetzen in die Zielgleichung
Einsetzen in die Zielgleichung $a^{2} = \frac{1}{4} (e^{2} + f^{2}) - \frac{e \cdot f}{2} \cdot \cos (ε)$ ergibt:
$\begin{array}{lrcll} 36 & \approx & 50 - 47,273 \cos (ε) & | - 50 \\ \Leftrightarrow & - 14 & \approx & - 47,273 \cos (ε) & | : (- 47,273) \\ \Leftrightarrow & \cos (ε) & \approx & 0,2962 \\ \Leftrightarrow & ε & \approx & 72,77 ° \end{array}$
Der gesuchte Winkel $ε$ hat die Größe $72,77 °$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{b}{\sin (β)}$	$=$	$\frac{c}{\sin (γ)}$
	↓	Tipp: Indem du von beiden Brüchen den Kehrbruch bildest, kannst du die gesuchte Größe in den Zähler bekommen.
$\frac{\sin (β)}{b}$	$=$	$\frac{\sin (γ)}{c}$	$\cdot b$
	↓	Löse nach der gesuchten Größe auf.
$\sin (β)$	$=$	$\frac{\sin (γ)}{c} \cdot b$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
$\sin (β)$	$=$	$\frac{\sin (108^{\circ})}{7,5} \cdot 4$
	↓	Rechne aus.
$\sin (β)$	$\approx$	$0,5072$	$\sin^{- 1}$
	↓	Löse nach dem Winkel auf.
$β$	$\approx$	$30, 48 °$

$b^{2}$	$=$	$a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos (β)$	$- a^{2} - c^{2}$
	↓	Forme nach $β$ um.
$b^{2} - a^{2} - c^{2}$	$=$	$- 2 a c \cdot \cos (β)$	$: (- 2 a c)$
$\frac{b^{2} - a^{2} - c^{2}}{- 2 a c}$	$=$	$\cos (β)$	$\cos^{- 1}$
$β$	$=$	$\cos^{- 1} (\frac{b^{2} - a^{2} - c^{2}}{- 2 a c})$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
$β$	$=$	$\cos^{- 1} (\frac{8^{2} - {5,1}^{2} - {4,3}^{2}}{- 2 \cdot 5,1 \cdot 4,3})$
	↓	Rechne aus und runde auf 2 Nachkommastellen.
$β$	$\approx$	$116,40 °$

$c^{2}$	$=$	$a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ)$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
$c^{2}$	$=$	$4^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos (67^{\circ})$
	↓	Rechne die rechte Seite zusammen.
$c^{2}$	$\approx$	$33,24$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel. Runde auf 2 Nachkommastellen.
$c$	$\approx$	$5,77$

$\frac{c}{\sin (γ)}$	$=$	$\frac{a}{\sin (α)}$	$\cdot \sin (γ)$
	↓	Forme nach der gesuchten Größe um. Multipliziere hierzu mit $\sin (γ)$ .
$c$	$=$	$\frac{a}{\sin (α)} \cdot \sin (γ)$
	↓	Setze die Werte ein.
$c$	$=$	$\frac{9}{\sin (94^{\circ})} \cdot \sin (61^{\circ})$
$c$	$\approx$	$7,89$

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Zielgleichung aufstellen

Zielgleichung vereinfachen

Fehlende Größen berechnen

Einsetzen in die Zielgleichung