Aufgaben zu Sinussatz und Kosinussatz

Aufgaben

Berechne die gesuchten Größen

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Kosinussatz

Gegeben:
%%a=4\,\mathrm{cm}%%
%%b=6\,\mathrm{cm}%%
%%\gamma=67^\circ%%

Gesucht:
%%c={?}%%

Verwende den Kosinussatz.

%%c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)%%

Setze die gegebenen Werte ein.

%%c^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6 \cdot\cos(67^{\circ})%%

Rechne die rechte Seite zusammen.

%%c^2\approx 33{,}24 \qquad \mid\sqrt{}%%

Ziehe die Wurzel.

%%c=5{,}77%%

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Sinussatz

Gegeben:
%%a=9\,\mathrm{cm}%%
%%\alpha = 94^{\circ}%%
%%\gamma = 61^{\circ}%%

Gesucht:
%%c={?}%%

Du hast zwei Winkel und eine Seite gegeben. Verwende deshalb den Sinussatz.

$$\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\qquad |\cdot \sin(\gamma)$$

Forme nach der gesuchten Größe um. Multipliziere hierzu mit %%\sin(\gamma)%%.

$$c=\dfrac{a}{\sin(\alpha)}\cdot\sin(\gamma)$$

Setze die Werte ein.

$$c=\dfrac{9}{\sin(94^{\circ})}\cdot\sin(61^{\circ})$$

Berechne.

%%c\approx 7{,}89%%

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Sinussatz

Gegeben:
%%b=4\,\mathrm{cm}%%
%%c=7{,}5\,\mathrm{cm}%%
%%\gamma = 108^{\circ}%%

Gesucht:
%%\beta={?}%%

Du hast ein Paar aus Winkel und Seite und die Seite gegenüber des gesuchten Winkels gegeben. Verwende deshalb den Sinussatz.

$$\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\qquad |\cdot\sin(\gamma)$$

Tipp: Indem du von beiden Brüchen den Kehrbruch bildest, kannst du die gesuchte Größe in den Zähler bekommen.

$$\dfrac{\sin(\beta)}{b}=\dfrac{\sin(\gamma)}{c} \qquad |\cdot b$$

Löse nach der gesuchten Größe auf.

$$\sin(\beta)=\dfrac{\sin(\gamma)}{c} \cdot b$$

Setze die gegebenen Werte ein.

$$\sin(\beta)=\dfrac{\sin(108^{\circ})}{7{,}5} \cdot 4$$ $$\sin(\beta)\approx 0{,}5072\qquad \mid{\sin}^{-1}$$

%%\beta\approx 30{,}48^{\circ}%%

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Kosinussatz

Gegeben:
%%a=5{,}1\,\mathrm{cm}%%
%%b=8\,\mathrm{cm}%%
%%c=4{,}3\,\mathrm{cm}%%

Gesucht:
%%\beta={?}%%

Du hast drei Seiten gegeben und suchst einen Winkel. Verwende deshalb den Kosinussatz. Da der gesuchte Winkel der Winkel %%\beta%% ist, ist %%b%% die Seite, die beim Kosinussatz alleine steht.

%%b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)%%

%%|-a^2-c^2%%

Forme nach %%\beta%% um.

%%b^2-a^2-c^2=-2ac\cdot\cos(\beta)%%

%%|:(-2ac)%%

%%\dfrac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}=\cos(\beta)%%

%%|\cos^{-1}%%

%%\beta ={\cos}^{-1}\dfrac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}%%

Setze die gegebenen Werte ein.

%%\beta ={\cos}^{-1}\dfrac{8^2-{5{,}1}^2-{4{,}3}^2}{-2\cdot 5{,}1\cdot 4{,}3}%%

Berechne.

%%\beta \approx 116{,}4^{\circ}%%

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Berechne die fehlenden Größen des Dreiecks, indem du den Kosinus- und Sinussatz anwendest.
Gegeben ist: β=36,1∘\beta=36{,}1^\circ ; b=9,5 cmb=9{,}5\,\mathrm{cm} und γ = 111,5∘\gamma\ =\ 111,5^\circ 

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz

Berechne zuerst mit Hilfe des Sinussatzes die Länge der Seite c:
bsin⁡(β)=csin⁡(γ)\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin\left(\gamma\right)} Setze die bekannten Werte ein
9,5sin⁡(36,1∘)=csin⁡(111,5∘)\frac{9{,}5}{\sin\left(36,1^\circ\right)}=\frac{c}{\sin\left(111,5^\circ\right)} Löse nach c auf.
⇒c=9,5⋅sin⁡(111,5∘)sin⁡(36,1∘)=15,0\Rightarrow c=\frac{9{,}5\cdot\sin(111,5^\circ)}{\sin(36,1^\circ)}=15{,}0
Berechne nun mit Hilfe des Kosinussatzes die Länge der Seite aa:
a=b2+c2−2bc⋅cos⁡(α)a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cdot\cos\left(\alpha\right)}

=9,52+15,02−2⋅9,5⋅15,0⋅cos⁡(32,4∘)=8,6=\sqrt{9{,}5^2+15{,}0^2-2\cdot9{,}5\cdot15{,}0\cdot\cos\left(32,4^\circ\right)}=8{,}6
Der Winkel α\alpha läßt sich berechnen aus:
180∘^\circ - (γ+β)\gamma + \beta) = 180∘−(111,5∘+36,1∘)=180∘−147,6∘=32,4∘180^\circ-(111,5^\circ + 36,1^\circ) =180^\circ - 147,6^\circ = 32,4^\circ

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften eines Parallelogramms

Insbesondere benötigst du folgende Regeln:
  • Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren sich.
  • Benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180∘180^\circ.

Zielgleichung aufstellen

Zunächst suchen wir eine Gleichung, die den gesuchten Winkel ε\varepsilon enthält. Im Parallelogramm sind zunächst nur die Seitenlängen aa und bb sowie der Winkel α\alpha bekannt. Da die Seite aa dem gesuchten Winkel gegenüberliegt, bietet sich der Kosinussatz für aa an.
Da sich in einem Parallelogramm die Diagonalen halbieren, haben die Seiten, die am Winkel ε\varepsilon anliegen, die Länge e2\frac{e}{2} bzw. f2\frac{f}{2}.Die Zielgleichung ist also:

Zielgleichung vereinfachen

Um später weniger rechnen zu müssen, kannst du die Gleichung durch Ausklammern und Kürzen vereinfachen:
a2=14(e2+f2)−e⋅f2⋅cos⁡(ε)\displaystyle a^2 = \frac{1}{4}\left(e^2 + f^2\right) - \frac{e\cdot f}{2}\cdot \cos(\varepsilon)

Fehlende Größen berechnen

Die Längen von ee und ff kannst du mit dem Kosinussatz berechnen. Es gilt:
e2=a2+b2−2abcos⁡(α)\displaystyle e^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha)
f2=a2+b2−2abcos⁡(β)\displaystyle f^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\beta)
In einem Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel zu 180°. Also ist β=180°−α\beta= 180° - \alpha. Zusammen mit den Supplementbeziehungen für Sinus und Kosinus gilt:
cos⁡(β)=cos⁡(180°−α)=−cos⁡(α)\cos(\beta) = \cos(180°-\alpha) = -\cos(\alpha) und damit schließlich:
Damit berechnest du die Werte von e2,f2e^2, f^2 bzw. e,fe, f:
$$\begin{array}{lr}e^2 = 100 - 96\cdot\cos(\alpha) \approx 67{,}17; & e \approx 8{,}20\\ f^2 = 100 + 96 \cdot \cos(\alpha) \approx 132{,}83;& f \approx 11{,}53 \end{array}$$

Einsetzen in die Zielgleichung

Einsetzen in die Zielgleichung a2=14(e2+f2)−e⋅f2⋅cos⁡(ε)a^2 = \frac{1}{4}\left(e^2 + f^2\right) - \frac{e\cdot f}{2}\cdot\cos(\varepsilon) ergibt:
$$\begin{array}{lrcll}& 36 & \approx &50 - 47{,}273 \cos(\varepsilon)& |-50\\ \Leftrightarrow& -14 & \approx & - 47{,}273 \cos(\varepsilon)& |: (-47{,}273) \\ \Leftrightarrow& \cos(\varepsilon)& \approx &0{,}2962\\\Leftrightarrow& \varepsilon& \approx & 72{,}77°\end{array}$$
Rechenarbeit ersparen
Mit den Gleichungen für e2e^2 und f2f^2 gilt:e2+f2=2(a2+b2)e^2 + f^2 = 2\left(a^2+b^2\right).
Also ist mit a=6a = 6 und b=8b = 8: e2+f2=200e^2 + f^2 = 200
Der gesuchte Winkel ε\varepsilon hat die Größe 72,77°.
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Hersheysoldier 2020-04-16 19:29:56+0200
Fehlt bei Aufgabe 2. nicht noch die Angabe einer Seite oder eines Winkels?
wolfgang 2020-04-23 09:36:38+0200
Das stimmt. Man braucht ja für Sinus und Kosinussatz immer drei Größen, die man kennt. Hättest du Lust die Aufgabe zu bearbeiten und noch eine weitere Seite oder einen Winkel hinzuzufügen? Ich sehe gerade aus den anderen Kommentare, dass hier ebenfalls noch eine Lösung fehlt.

Beste Grüße
Wolfgang
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