Aufgaben zu Sinussatz und Kosinussatz

Hier findest du Rechenaufgaben zum Sinus- und Kosinussatz, mit denen du deren Anwendung lernst.

Berechne die (rot markierten) gesuchten Größen. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Berechne die fehlenden Größen des Dreiecks, indem du den Kosinus- und Sinussatz anwendest.
Gegeben ist: $\beta=36{,}1^\circ$ ; $b=9{,}5\,\mathrm{cm}$ und $\gamma\ =\ 111{,}5^\circ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz
Berechne zuerst mit Hilfe des Sinussatzes die Länge der Seite c:
$\displaystyle\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin\left(\gamma\right)}$ Setze die bekannten Werte ein
$\displaystyle\frac{9{,}5}{\sin\left(36{,}1^\circ\right)}=\frac{c}{\sin\left(111{,}5^\circ\right)}$ Löse nach c auf.
$\displaystyle\Rightarrow c=\frac{9{,}5\cdot\sin(111{,}5^\circ)}{\sin(36{,}1^\circ)}=15{,}0$
Berechne nun mit Hilfe des Kosinussatzes die Länge der Seite $a$ :
$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cdot\cos\left(\alpha\right)}$
$=\sqrt{9{,}5^2+15{,}0^2-2\cdot9{,}5\cdot15{,}0\cdot\cos\left(32{,}4^\circ\right)}=8{,}6$
Der Winkel $\alpha$ läßt sich berechnen aus:
180 $^\circ$ - ( $\gamma + \beta)$ = $180^\circ-(111{,}5^\circ + 36{,}1^\circ) =180^\circ - 147{,}6^\circ = 32{,}4^\circ$
3
Die Skizze zeigt ein Parallelogramm mit den Seitenlängen: $\mathrm a=6\;\mathrm{cm}$ und $\mathrm b=8\;\mathrm{cm}$ und dem Winkel $\mathrm\alpha=70^\circ$ .
Berechne den Winkel $\varepsilon$ .
°
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften eines Parallelogramms
Insbesondere benötigst du folgende Regeln:
Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren sich.
Benachbarte Winkel ergänzen sich zu $180^\circ$ .
Zielgleichung aufstellen
Zunächst suchen wir eine Gleichung, die den gesuchten Winkel $\varepsilon$ enthält. Im Parallelogramm sind zunächst nur die Seitenlängen $a$ und $b$ sowie der Winkel $\alpha$ bekannt. Da die Seite $a$ dem gesuchten Winkel gegenüberliegt, bietet sich der Kosinussatz für $a$ an.
Da sich in einem Parallelogramm die Diagonalen halbieren, haben die Seiten, die am Winkel $\varepsilon$ anliegen, die Länge $\frac{e}{2}$ bzw. $\frac{f}{2}$ . Die Zielgleichung ist also:
$a^2=\left(\dfrac{e}{2}\right)^2+\left(\dfrac{f}{2}\right)^2-2\cdot \dfrac{e}{2}\cdot \dfrac{f}{2}\cdot \cos(\varepsilon)$
Zielgleichung vereinfachen
Um später weniger rechnen zu müssen, kannst du die Gleichung durch Ausklammern und Kürzen vereinfachen:
Fehlende Größen berechnen
Die Längen von $e$ und $f$ kannst du mit dem Kosinussatz berechnen. Es gilt:
In einem Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel zu $180°$ . Also ist $\beta= 180° - \alpha$ . Zusammen mit den Supplementbeziehungen für Sinus und Kosinus gilt:
$\cos(\beta) = \cos(180°-\alpha) = -\cos(\alpha)$
Damit berechnest du die Werte von $e^2, f^2$ bzw. $e, f$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lr}e^2 = 100 - 96\cdot\cos(\alpha) \approx 67{,}17; & e \approx 8{,}20\\ f^2 = 100 + 96 \cdot \cos(\alpha) \approx 132{,}83;& f \approx 11{,}53 \end{array}$
Einsetzen in die Zielgleichung
Einsetzen in die Zielgleichung $a^2 = \frac{1}{4}\left(e^2 + f^2\right) - \frac{e\cdot f}{2}\cdot\cos(\varepsilon)$ ergibt:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcll}& 36 & \approx &50 - 47{,}273 \cos(\varepsilon)& |-50\\ \Leftrightarrow& -14 & \approx & - 47{,}273 \cos(\varepsilon)& |: (-47{,}273) \\ \Leftrightarrow& \cos(\varepsilon)& \approx &0{,}2962\\\Leftrightarrow& \varepsilon& \approx & 72{,}77°\end{array}$
Der gesuchte Winkel $\varepsilon$ hat die Größe $72{,}77°$ .

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$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle 4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cdot\cos(67^{\circ})$
	↓	Rechne die rechte Seite zusammen.
$\displaystyle c^2$	$≈$	$\displaystyle 33{,}24$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel. Runde auf 2 Nachkommastellen.
$\displaystyle c$	$≈$	$\displaystyle 5{,}77$

$\displaystyle \frac{c}{\sin(\gamma)}$	$=$	$\displaystyle \frac{a}{\sin(\alpha)}\qquad$	$\displaystyle \cdot\sin(\gamma)$
	↓	Forme nach der gesuchten Größe um. Multipliziere hierzu mit $\sin(\gamma)$ .
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \frac{a}{\sin(\alpha)}\cdot\sin(\gamma)$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{\sin(94^{\circ})}\cdot\sin(61^{\circ})$
$\displaystyle c$	$≈$	$\displaystyle 7{,}89$

$\displaystyle \frac{b}{\sin(\beta)}$	$=$	$\displaystyle \frac{c}{\sin(\gamma)}$
	↓	Tipp: Indem du von beiden Brüchen den Kehrbruch bildest, kannst du die gesuchte Größe in den Zähler bekommen.
$\displaystyle \frac{\sin(\beta)}{b}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin(\gamma)}{c}$	$\displaystyle \cdot b$
	↓	Löse nach der gesuchten Größe auf.
$\displaystyle \sin(\beta)$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin(\gamma)}{c}\cdot b$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
$\displaystyle \sin(\beta)$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin(108^{\circ})}{7{,}5}\cdot4$
	↓	Rechne aus.
$\displaystyle \sin(\beta)$	$≈$	$\displaystyle 0{,}5072$	$\displaystyle \sin^{-1}$
	↓	Löse nach dem Winkel auf.
$\displaystyle \beta$	$≈$	$\displaystyle 30\ ,48°$

$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)$	$\displaystyle -a^2-c^2$
	↓	Forme nach $\beta$ um.
$\displaystyle b^2-a^2-c^2$	$=$	$\displaystyle -2ac\cdot\cos(\beta)$	$\displaystyle :\left(-2ac\right)$
$\displaystyle \frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}$	$=$	$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$\displaystyle \cos^{-1}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}\right)$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\frac{8^2-5{,}1^2-4{,}3^2}{-2\cdot5{,}1\cdot4{,}3}\right)$
	↓	Rechne aus und runde auf 2 Nachkommastellen.
$\displaystyle \beta$	$≈$	$\displaystyle 116{,}40°$

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