Die Skizze zeigt ein Parallelogramm mit den Seitenlängen: a=6cm und b=8cm und dem Winkel α=70∘.
Berechne den Winkel ε.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften eines Parallelogramms
Insbesondere benötigst du folgende Regeln:
Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren sich.
Benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180∘.
Zielgleichung aufstellen
Zunächst suchen wir eine Gleichung, die den gesuchten Winkel ε enthält. Im Parallelogramm sind zunächst nur die Seitenlängen a und b sowie der Winkel α bekannt. Da die Seite a dem gesuchten Winkel gegenüberliegt, bietet sich der Kosinussatz für a an.
Da sich in einem Parallelogramm die Diagonalen halbieren, haben die Seiten, die am Winkel ε anliegen, die Länge 2e bzw. 2f. Die Zielgleichung ist also:
a2=(2e)2+(2f)2−2⋅2e⋅2f⋅cos(ε)
Zielgleichung vereinfachen
Um später weniger rechnen zu müssen, kannst du die Gleichung durch Ausklammern und Kürzen vereinfachen:
Fehlende Größen berechnen
Die Längen von e und f kannst du mit dem Kosinussatz berechnen. Es gilt:
In einem Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel zu 180°. Also ist β=180°−α. Zusammen mit den Supplementbeziehungen für Sinus und Kosinus gilt:
cos(β)=cos(180°−α)=−cos(α)
Damit berechnest du die Werte von e2,f2 bzw. e,f:
e2=100−96⋅cos(α)≈67,17;f2=100+96⋅cos(α)≈132,83;e≈8,20f≈11,53
Einsetzen in die Zielgleichung
Einsetzen in die Zielgleichung a2=41(e2+f2)−2e⋅f⋅cos(ε) ergibt:
⇔⇔⇔36−14cos(ε)ε≈≈≈≈50−47,273cos(ε)−47,273cos(ε)0,296272,77°∣−50∣:(−47,273)
Der gesuchte Winkel ε hat die Größe 72,77°.
