Das Zählprinzip sagt etwas über die Anzahl der Möglichkeiten aus, wie ein Zufallsexperiment ausgehen kann.

Definition

Ein Zufallsexperiment hat NN Stufen, wobei jede Stufe nin_i Möglichkeiten hat mit i=1,Ni= 1, \dots N.
Dann ist die Anzahl der Möglichkeiten nn, das gesamte Zufallsexperiment anzuordnen, gegeben als das Produkt der Möglichkeiten, die Stufen anzuordnen.
n=n1n2nN\displaystyle n = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_N
Folgende Strategie kann man der Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten helfen:
  1. Nenne ein Beispiel.
  2. Wie viele Entscheidungen wurden getroffen?
  3. Wie viele Möglichkeiten gibt es bei jeder Entscheidung?
  4. Multipliziere die Anzahl der Möglichkeiten. Das Produkt hat genau so viele Faktoren wie Entscheidungen getroffen werden.

Beispiel: Mehrstufige Möglichkeiten

In einem beliebten Restaurant kann man sein Menü selbst zusammenstellen. Man hat die Wahl aus 2 Vorspeisen (Suppe, Salat), 3 Hauptspeisen (Pasta, Schnitzel, Fisch) und 2 Nachspeisen (Eis, Tiramisu). Auf wie viele verschiedene Arten kann man sein Menü zusammenstellen?
gedeckter Tisch
Diese Aufgabe kann man lösen, indem man alle Möglichkeiten in einem Baumdiagramm darstellt.
Nun kann die Anzahl der Möglichkeiten am Baumdiagramm abgezählt werden. Es gibt insgesamt 12 Möglichkeiten, sein Menü zusammenzustellen.
Einfacher, als ein Baumdiagramm zeichnen zu müssen, ist der Weg über das Zählprinzip. Es werden drei Entscheidungen getroffen. Es gibt 2 Möglichkeiten für die Vorspeise, 3 Möglichkeiten für das Hauptgericht und zwei Möglichkeiten für den Nachtisch.Nach dem Allgemeinen Zählprinzip der Kombinatorik ist die Anzahl der Möglichkeiten das Produkt der Möglichkeiten der einzelnen Entscheidungen.
Insgesamt gibt es also 232=122 \cdot 3 \cdot 2 = 12 Möglichkeiten.

Beispiel: Anordnung von Elementen

Wie viele Sitzordnungen sind bei einer Gruppe von 4 Schülern möglich?
Der erste Schüler hat vier verschiedene Möglichkeiten, sich hinzusetzen, da noch kein Stuhl besetzt ist.
4 Stühle
Nachdem sich der erste Schüler hingesetzt hat, sind von den vier Stühlen nur noch drei frei. Daher gibt es für den zweiten Schüler nur noch drei Möglichkeiten, auf welchen Stuhl er sich setzen möchte.
4 Stühle und ein Mann
Für den dritten Schüler gibt es dann nur noch 2 Möglichkeiten, auf welchen der beiden verbliebenen Stühle er sich setzen möchte. Der vierte Schüler muss sich auf den letzten verbliebenen Stuhl setzen, hat also genau 1 Möglichkeit.
Nach dem Zählprinzip ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine Sitzordnung mit 4 Schülern aufzustellen das Produkt aus den Möglichkeiten für die einzelnen Schüler.
Somit gibt es 4321=244 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 verschiedene Sitzordnungen.
Hierfür kann man auch 4!4! mit der Schreibweise für die Fakultät schreiben.
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