Graph II

Graph II kommt von oben links (2. Quadrant) und geht nach unten rechts (4. Quadrant).

Die Funktion $f(x)=x^3$ kommt von unten (3. Quadrant) und geht nach oben rechts (1. Quadrant). Graph II kommt daher nicht infrage.

Graph III

Die Funktion $f(x)=x^3-x$ besitzt eine Ableitungsfunktion und damit Steigungswerte auf dem ganzen Definitionsbereich. Der Graph III besitzt jedoch Knickstellen, an denen die Steigung nicht eindeutig ist.

Graph III kommt auch nicht infrage.

Graph I stellt die Funktion $f$ dar.

Flächeninhalt von $f$ und der x-Achse

Der Graph der Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Es reicht das Integral $\int_0^1f(x)dx$ zu berechnen. $x=1$ ist die rechte Nullstelle der Funktion und damit die obere Grenze des Integrals.

Da der Flächeninhalt immer dem Betrag des Integrals entspricht, gilt insgesamt:

$A=\underbrace{2}_{\text{Symmetrie}}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$

Hinweis: eine ausführlichere Rechnung findest du hier