Pflichtteil - Stochastik

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Aufgabe P1

Eine Funktion $f$ ist gegeben durch $f(x)=x^{2}-6 x, x \in \mathbb{R}$ .

Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes an. (2BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im

Punkt $P(-2 \mid f(-2))$ . (3BE)

Aufgabe P2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^{3}-x$ .

Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt $f$ dar.
Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie Ihre Angabe. (2BE)
Graph II
Graph II kommt von oben links (2. Quadrant) und geht nach unten rechts (4. Quadrant).
Die Funktion $f(x)=x^3$ kommt von unten (3. Quadrant) und geht nach oben rechts (1. Quadrant). Graph II kommt daher nicht infrage.
Graph III
Die Funktion $f(x)=x^3-x$ besitzt eine Ableitungsfunktion und damit Steigungswerte auf dem ganzen Definitionsbereich. Der Graph III besitzt jedoch Knickstellen, an denen die Steigung nicht eindeutig ist.
Graph III kommt auch nicht infrage.
Graph I stellt die Funktion $f$ dar.
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Untersuche die Graphen darauf, aus welchen Quadranten sie kommen und wohin sie gehen.
Überprüfe, ob die Funktion abgeleitet werden kann. Ist der Graph III von einer differenzierbaren Funktion?

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen. (3BE)

Aufgabe P3

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{x}+1$ .

Bestimmen Sie $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\, d x$ . (3BE)

Der Graph der Funktion $g$ kann aus dem Graphen von $f$ durch Spiegeln an der $y$ -Achse und Verschieben um 3 in positive $y$ -Richtung erzeugt werden.
Geben Sie einen Funktionsterm von $g$ an. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
$g$ aus $f$ bestimmen
Wir spiegeln den Graphen von $f$ an der y-Achse:
$\displaystyle f\left(-x\right)$ $=$ $\displaystyle e^{-x}+1$
↓
Potenzgesetz
$=$ $\displaystyle \left(\frac{1}{e}\right)^x+1$
Verschiebe den Graphen abschließend nach oben, um $g$ zu erhalten:
$g(x)=\left(\frac{1}{e}\right)^x+1+3=\left(\frac{1}{e}\right)^x+4$ oder $g(x)=\frac{1}{e^x}+4$ oder $g(x)=e^{-x}+4$ .
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Setze $g(x)=f(-x)$ , um den Graphen an der y-Achse zu spiegeln.
Addiere 3, um den Graphen 3 Einheiten nach oben zu verschieben.

Aufgabe P4

Von den Personen, die einen bestimmten Allergietest machen, haben $15 \%$ Heuschnupfen.

Der Test ist bei einer Person, die Heuschnupfen hat, mit einer Wahrscheinlichkeit von $90 \%$ positiv. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer Person positiv ist, obwohl diese Person keinen Heuschnupfen hat, beträgt $2 \%$ .

Von den Personen, die den Test machen lassen, wird eine Person zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person keinen Heuschnupfen hat und der Test positiv ist. (2BE)

Deuten Sie den Term $\dfrac{0{,}15 \cdot 0{,}9}{0{,}15 \cdot 0{,}9+0{,}85 \cdot 0{,}02}$ im Sachzusammenhang. (3BE)

5
Aufgabe P5
1. Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt; die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt $p=\frac{1}{4}$ .
  Vervollständigen Sie die folgende Gleichung zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit:
  . (2BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Term vervollständigen
  $P(X=\quad)=\binom{}{3} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{3} \cdot(-)^{2}$
  Die Trefferwahrscheinlichkeit kommt 3 mal vor, es wird also dreimal getroffen.
  Die Gegenwahrscheinlichkeit $1-p=\dfrac34$ kommt 2 mal vor, es wird also zweimal nicht getroffen.
  Damit ist $n=5$ . Da dreimal getroffen wird, wird mit diesem Term $P(X=3)$ berechnet:
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  Untersuche den Term darauf, wie oft die Trefferwahrscheinlichkeit vorkommt.
  Bestimme zudem, wie oft die Gegenwahrscheinlichkeit vorkommt, um die Anzahl der Durchführungen $n$ zu bestimmen.
2. Die Abbildung zeigt die symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße $Y$ .
  Gegeben sind die Wahrscheinlichkeitswerte $P(Y \leq 15) \approx 0{,}78$ und $P(Y=12) \approx 0{,}13$ .
  Berechnen Sie unter Verwendung dieser Werte einen Näherungswert für die
  Wahrscheinlichkeit $P(Y=14)$ . (3BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Wahrscheinlichkeit $P(X=14)$ bestimmen
  Es gilt $P(X\le 15)\approx0{,}78$ .
  Damit ist die Gegenwahrscheinlichkeit:
  Die Wahrscheinlichkeit $P(X=12)$ ist wegen der Symmetrie gleich der Wahrscheinlichkeit $P(X=15)\approx 0{,}13$ .
  Verwende die Symmetrie, sodass die rechte Seite der Verteilung zusammen die Wahrscheinlichkeit $0{,}5$ ergeben muss:
  Damit ist $P(X=14)=0{,}5-0{,}13-0{,}22=0{,}15$
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  Verwende, dass die Binomialverteilung näherungsweise symmetrisch um ihre Mitte ist.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-6x$
	$=$	$\displaystyle x^2-2\cdot\color{green}3\color{black}\cdot x$
	↓	Quadratische Ergänzung mit $3$
	$=$	$\displaystyle x^2-2\cdot3\color{black}\cdot x\color{green}+3^2-3^2$
	↓	Schreibe den vorderen Teil als Binom
	$=$	$\displaystyle (x-3)^2-3^2$
	↓	Berechne die Potenz
	$=$	$\displaystyle (x-3)^2-9$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x^2-6x$
	↓	Ableitung berechnen
$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle 2x-6$
	↓	Einsetzen der Stelle $x=-2$
$\displaystyle f'(-2)$	$=$	$\displaystyle -10$

$\displaystyle g(x)$	$=$	$\displaystyle f'(x_0)(x−x_0)+f(x_0)$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle -10\cdot(x-(-2))+16$
	↓	Löse die Klammer auf
	$=$	$\displaystyle -10x-20+16$
	$=$	$\displaystyle -10x-4$

Stammfunktion bestimmen
	↓
$\displaystyle \int_0^1f(x)dx$	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2\right]_0^1$
	↓	Grenzen einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot1-\frac{1}{2}\cdot1$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}$

Stammfunktion verwenden
	↓
$\displaystyle \int_0^1f(x)dx$	$=$	$\displaystyle \left[e^x+x\right]_0^1$
	↓	Grenzen einsetzen
	$=$	$\displaystyle e^1+1-\left(e^0+0\right)$
	↓	$e^0=1$
	$=$	$\displaystyle e+1-1$
	$=$	$\displaystyle e$

Pflichtteil - Stochastik

Aufgabe P1

Scheitelform bestimmen

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Steigung und Funktionswert berechnen

Tangente bestimmen

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Aufgabe P2

Graph II

Graph III

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Flächeninhalt von $f$ und der x-Achse

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Aufgabe P3

Integral berechnen

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$g$ aus $f$ bestimmen

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Aufgabe P4

Wahrscheinlichkeit berechnen

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Term im Zähler

Term im Nenner

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Aufgabe P5

Term vervollständigen

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Wahrscheinlichkeit $P(X=14)$ bestimmen

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$\displaystyle f\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle e^{-x}+1$
	↓	Potenzgesetz
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{e}\right)^x+1$

$\displaystyle P_{\overline{H}}(T)$	$=$	$\displaystyle \frac{P(\overline{H}\cap T)}{P(\overline{H})}$	$\displaystyle \cdot P(\overline{H})$
$\displaystyle P(\overline{H}\cap T)$	$=$	$\displaystyle P_{\overline{H}}(T)\cdot P(\overline{H})$
	↓	$P(H)+P(\overline{H})=1$
	$=$	$\displaystyle 0{,}02\cdot\left(1-0{,}15\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}017$

Aufgabenstellung
	↓
$\displaystyle 0{,}15\cdot0{,}9$	$=$	$\displaystyle P(H)\cdot P_H(T)$
	↓	Formel bedingte Wahrscheinlichkeit
	$=$	$\displaystyle P\left(H\cap T\right)$

$\displaystyle 0{,}15\cdot0{,}9+0{,}85\cdot0{,}02$	$=$	$\displaystyle P(H)\cdot P_H(T)+P(\bar{H})\cdot P_{\bar{H}}(T)$
	$=$	$\displaystyle P\left(H\cap T\right)+P\left(\bar{H}\cap T\right)$
	↓	Beide Personengruppen zusammen sind diejenigen, deren Test positiv ist.
	$=$	$\displaystyle P(T)$

Pflichtteil - Stochastik

Aufgabe P1

Scheitelform bestimmen

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Steigung und Funktionswert berechnen

Tangente bestimmen

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Aufgabe P2

Graph II

Graph III

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Flächeninhalt von fff und der x-Achse

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Aufgabe P3

Integral berechnen

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ggg aus fff bestimmen

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Aufgabe P4

Wahrscheinlichkeit berechnen

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Term im Zähler

Term im Nenner

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Aufgabe P5

Term vervollständigen

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Wahrscheinlichkeit P(X=14)P(X=14)P(X=14) bestimmen

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Flächeninhalt von $f$ und der x-Achse

$g$ aus $f$ bestimmen

Wahrscheinlichkeit $P(X=14)$ bestimmen