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Lösung von quadratischen Gleichungen

13Scheitelform

Die Darstellung einer quadratischen Funktion in folgender Form f(x)=2⋅(x−3)2−4,5f(x)=2\cdot(x-3)^2-4{,}5 heißt Scheitelform. Man kann den Scheitelpunkt ohne weitere Rechnung ablesen: S(3∣−4,4)S(3|-4{,}4)

Scheitelform einer quadratischen Funktion

Sollen die Nullstellen der obigen quadratischen Funktion berechnet werden, dann musst du folgende Gleichung lösen: 2⋅(x−3)2−4,5=02\cdot(x-3)^2-4{,}5=0

Die allgemeine Scheitelform einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

a(x−e)2+d=0a(x-e)^2+d=0

Quadratische Gleichungen in der Scheitelform lösen wir geschickt durch Rückwärtsrechnen. Dabei kehren wir die Reihenfolge der Vorfahrtsregeln um.

2⋅(x−3)2−4,5\displaystyle 2\cdot(x-3)^2-4{,}5==0\displaystyle 0+4,5\displaystyle +4{,}5
↓

Bringe 4,54{,}5 auf die andere Seite.

2⋅(x−3)2\displaystyle 2\cdot(x-3)^2==4,5\displaystyle 4{,}5:2\displaystyle :2
↓

Teile durch 2.

(x−3)2\displaystyle (x-3)^2==2,25\displaystyle 2{,}25\displaystyle \sqrt{}
↓

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind.

(x−3)2\displaystyle \sqrt{(x-3)^2}==2,25\displaystyle \sqrt{2{,}25}
↓

Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen

∣x−3∣\displaystyle |x-3|==1,5\displaystyle 1{,}5

Löse den Betrag auf. Dazu werden zwei Fälle betrachtet.

Es gibt zwei Zahlen, deren Betrag gleich 1,51{,}5​ ist: 1,51{,}5​ und −1,5-1{,}5​.

Fall 1:  x−3=1,5  ⇒x=4,5x-3=1{,}5\;\Rightarrow x=4{,}5

​Fall 2:  x−3=−1,5  ⇒x=1,5x-3=-1{,}5\;\Rightarrow x=1{,}5

​Antwort: Die quadratische Funktion f(x)f(x) hat die beiden Nullstellen 4,5​4{,}5​ und 1,51{,}5​.


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