13Scheitelform

Scheitelform einer quadratischen Funktion

Die Darstellung einer quadratischen Funktion in folgender Form $f(x)=2\cdot(x-3)^2-4{,}5$ heißt Scheitelform. Man kann den Scheitelpunkt ohne weitere Rechnung ablesen: $S(3|-4{,}4)$

Sollen die Nullstellen der obigen quadratischen Funktion berechnet werden, dann musst du folgende Gleichung lösen: $2\cdot(x-3)^2-4{,}5=0$

Die allgemeine Scheitelform einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

$a(x-e)^2+d=0$

Quadratische Gleichungen in der Scheitelform lösen wir geschickt durch Rückwärtsrechnen. Dabei kehren wir die Reihenfolge der Vorfahrtsregeln um.

$\displaystyle 2\cdot(x-3)^2-4{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4{,}5$
	↓	Bringe $4{,}5$ auf die andere Seite.
$\displaystyle 2\cdot(x-3)^2$	$=$	$\displaystyle 4{,}5$	$\displaystyle :2$
	↓	Teile durch 2.
$\displaystyle (x-3)^2$	$=$	$\displaystyle 2{,}25$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind.
$\displaystyle \sqrt{(x-3)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2{,}25}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen
$\displaystyle \|x-3\|$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

Löse den Betrag auf. Dazu werden zwei Fälle betrachtet.

Es gibt zwei Zahlen, deren Betrag gleich $1{,}5$ ist: $1{,}5$ und $-1{,}5$ .

Fall 1: $x-3=1{,}5\;\Rightarrow x=4{,}5$

Fall 2: $x-3=-1{,}5\;\Rightarrow x=1{,}5$

Antwort: Die quadratische Funktion $f(x)$ hat die beiden Nullstellen $4{,}5$ und $1{,}5$ .

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