Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

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Aufgabe 3A

Ein Element eines Klettergartens ist eine ebene, viereckige Kletterwand. In einem Koordinatensystem können die Eckpunkte der Kletterwand durch die Punkte $A(6|7| 4), B(10|5| 5), C(9|5{,}5| 8)$ und $D(5|7{,}5| 7)$ beschrieben werden.

Die $x_{1} x_{2}$ -Ebene stellt den horizontalen Boden dar. Die Kletterwand liegt in einer Ebene, die senkrecht zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene steht. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht

$1$ Meter (m) in der Wirklichkeit.

Weisen Sie nach, dass die Kletterwand die Form eines Parallelogramms hat, aber nicht rechteckig ist. (4BE)
Auf der Kletterwand verläuft eine horizontale Linie, die den Punkt $D$ enthält. Diese Linie teilt die Wand in zwei Teile.
Begründen Sie, dass der Flächeninhalt des unteren Teils größer ist als der des oberen Teils. (4BE)
Ein anderes Element des Klettergartens ist ein Stahlseil, das zwischen zwei vertikal stehenden, $8 \mathrm{~m}$ hohen Masten gespannt ist. Der Fußpunkt des ersten Masts wird durch $F_{1}(0|0| 0)$ dargestellt, der Fußpunkt des zweiten Masts durch $F_{2}(2{,}5|6| 0)$ . Das Seil ist am ersten Mast in einer Höhe von $6 \mathrm{~m}$ befestigt, am zweiten Mast in einer Höhe von $4{,}7$ m. Es soll davon ausgegangen werden, dass das Seil geradlinig verläuft.
Stellen Sie die beiden Masten und das Seil in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dar. (3BE)
Bestimmen Sie die Neigung des Seils zwischen den beiden Masten in Prozent. (4BE)
Über das bisher betrachtete Seil hinweg ist ein zweites Stahlseil gespannt. Dieses obere Seil verläuft entlang der Geraden $\def\arraystretch{1.25} h: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 8\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}5 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ mit $t \in \mathbb{R}$ .
Ein Punkt des oberen Seils liegt vertikal über einem Punkt des unteren Seils.
Ermitteln Sie den Abstand dieser beiden Punkte. (5BE)