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Aufgabe 3B

Bild

Betrachtet wird der Stumpf ABCDEFGHA B C D E F G H der schiefen Pyramide ABCDSA B C D S. Die Grundfläche ABCDA B C D mit A(400),B(440),C(040)A(4|0| 0), B(4|4| 0), C(0|4| 0) und D(000)D(0|0| 0) sowie die Deckfläche des Stumpfs mit E(304)E(3|0| 4), F(334),G(034)F(3|3| 4), G(0|3| 4) und H(004)H(0|0| 4) sind quadratisch.

  1. Berechnen Sie

    • die Länge der Strecke DF\overline{D F}

    • die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke DF\overline{D F}.

    (3BE)

  2. Erläutern Sie den folgenden Ansatz zur Berechnung der Koordinaten der Pyramidenspitze S(0016)S(0|0| 16) :

    (400)+r(104)=(00s)\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-1\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\s\end{pmatrix}

    (3BE)

  3. Bestimmen Sie das Volumen des Stumpfs. (3BE)

  4. Der Pyramidenstumpf wird soweit um die Kante CD\overline{C D} gedreht bis die Fläche CGHDC G H D in derx1x2x_{1} x_{2}-Ebene liegt.

    Geben Sie die Koordinaten eines Bildpunktes HH^{\prime} an. (2BE)

  5. Der Mittelpunkt MM der Kante AB\overline{A B} und der Mittelpunkt NN der Kante CG\overline{C G} liegen auf der Gerade j:x=(420)+t(834)\def\arraystretch{1.25} j: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-8 \\ 3 \\ 4\end{array}\right) mit tRt \in \mathbb{R}.

    Die Punkte der Kante BC\overline{B C} lassen sich in der Form PW(w40)P_{W}(w|4| 0) darstellen.

    Für einen Punkt PWP_{W} der Kante BC\overline{B C} schneidet die Gerade durch HH und PWP_{W} die Gerade jj.

    Berechnen Sie den zugehörigen Wert von ww. (4BE)

  6. Es gibt Punkte PWP_{W} der Kante BC\overline{B C}, für die der von den Strecken PWM\overline{P_{W} M} und PWH\overline{P_{W} H} eingeschlossene Winkel größer als 7070^{\circ} ist.

    Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von ww. (5BE)