Teil 2 Stochastik 1 - lernen mit Serlo!

Bei einem Hersteller von Elektroautos (E-Autos) können die Kunden beim Kauf eines Autos zwischen den Modellen A, B und C wählen. $30 \%$ der Kunden entscheiden sich für Modell C. Die restlichen Kunden wählen zu gleichen Teilen A bzw. B.

Die Modelle B und C werden mit einer kleinen (K) oder einer großen (G) Batterie angeboten. Das Modell A kann nur mit einer kleinen Batterie bestellt werden. Bei Modell B entscheiden sich vier von zehn Kunden für die große Batterie, während sich beim Modell C nur $15 \%$ der Kunden für die kleine Batterie entscheiden.

Zusätzlich können alle Modelle noch mit einem Autopilot ( $P$ ) ausgestattet werden. Bei Modell B und C erfolgt die Wahl unabhängig von der Batteriegröße. Dieses Zusatzangebot wählen beim Modell A $20 \%$ der Kunden und beim Modell B jeweils $30 \%$ . Insgesamt werden $41{,}5 \%$ aller Fahrzeuge mit Autopilot gewünscht.

Die Wahl des Modells, der Batteriegröße und der Zusatzfunktion Autopilot eines beliebig herausgegriffenen Kunden wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.

[ Teilergebnis: $\mathrm{P}(\{(\mathrm{C} ; \mathrm{K} ; \mathrm{P})\})=0{,}036$ ]

(6 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln

Struktur des Baumdiagramms

Die Reihenfolge kannst du entweder aus dem Text lesen oder aber am Teilergebnis erkennen.

Auf erster Stufe sind die Fahrzeugarten A, B, C
Auf zweiter Stufe die Batteriegrößen K und G (außer bei A, wo es nur K gibt)
Auf dritter Stufe wird noch nach dem Autopilot gefragt: $P$ und $\overline P$

Vorgegebene Wahrscheinlichkeiten eintragen

Durch Eintragen direkt gegebener Informationen kannst du den Baum noch nicht komplett vervollständigen:

Dabei sind die blauen Werte aus dem Text entnommen, die schwarzen daraufhin ergänzt und die grünen mithilfe der Pfadregel berechnet.

Du weißt, dass $41{,}5\%$ der Autos mit Autopilot verkauft werden.

Das bedeutet:

$\displaystyle 0{,}415$	$=$	$\displaystyle P\left("Autopilot"\right)$
$\displaystyle 0{,}415$	$=$	$\displaystyle P\left(\left\{A;K;P\right\}\right)+P\left(\left\{B;K;P\right\}\right)+P\left(\left\{B;G;P\right\}\right)+P\left(\left\{C;K;P\right\}\right)+\ P\left(\left\{C;G;P\right\}\right)$
	↓	Entnehme dem Baum die vorhandenen Wahrscheinlichkeiten
$\displaystyle 0{,}415$	$=$	$\displaystyle 0{,}07+0{,}063+0{,}042+0{,}3\cdot0{,}15\cdot p+0{,}3\cdot0{,}85\cdot p$

Die letzten zwei Wahrscheinlichkeiten kannst du noch nicht genau angeben, allerdings weißt du, dass die Warscheinlichkeit für einen Autopilot bei Autos vom Typ C unabhängig von der Batteriegröße gleich ist.

Die Wahrscheinlichkeit ist unabhängig von der Batterieart gleich

Löse die Gleichung nach p auf:

$\displaystyle 0{,}415$	$=$	$\displaystyle 0{,}175+0{,}3p$	$\displaystyle -0{,}175$
$\displaystyle 0{,}24$	$=$	$\displaystyle 0{,}3p$	$\displaystyle :0{,}3$
$\displaystyle 0{,}8$	$=$	$\displaystyle p$

Damit kannst du den Baum vervollständigen:

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Gegeben sind folgende Ereignisse:
$E_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell A oder C jeweils mit Autopilot.“
$\mathrm{E}_{2}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den Autopilot.“
Berechnen Sie nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für $E_{1}$ und für $E_{2}$ .
(3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mengenlehre und Logik
Wahrscheinlichkeit von $E_1$
In der Menge $E_1$ ist enthalten:
$E_1=\{(A;K;P);(C;K;P);(C;G;P)\}$
Addiere die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten, um $P(E_1)$ zu erhalten:
$P(E_1)=P(\{(A;K;P)\})+P(\{(C;K;P)\}+P(\{(C;G;P)\}=0{,}07+0{,}036+0{,}204=0{,}31$
Wahrscheinlichkeit von $E_2$
Achte auf die Formulierung mit "...entweder...oder"
In der Menge $E_2$ ist enthalten:
$E_2=\{(A;K;\overline P);(B;K;\overline P);(B;G;P);(C;K;\overline P);(C;G;P)\}$
Auch hier addierst du die Wahrscheinlichkeiten:
$P(E_2)=0{,}25+0{,}147+0{,}042+0{,}009+0{,}204=0{,}682$
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Überlege dir zuerst, welche Ergebnisse in den Mengen enthalten sind
Addiere dann die Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm

Struktur des Baumdiagramms

Vorgegebene Wahrscheinlichkeiten eintragen

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Wahrscheinlichkeit von E1E_1E1​

Wahrscheinlichkeit von E2E_2E2​

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Wahrscheinlichkeit von $E_1$

Wahrscheinlichkeit von $E_2$