Teil 2 Stochastik 1

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen Hilfsmittel verwendet werden

Bei einem Hersteller von Elektroautos (E-Autos) können die Kunden beim Kauf eines Autos zwischen den Modellen A, B und C wählen. $30 \%$ der Kunden entscheiden sich für Modell C. Die restlichen Kunden wählen zu gleichen Teilen A bzw. B.

Die Modelle B und C werden mit einer kleinen (K) oder einer großen (G) Batterie angeboten. Das Modell A kann nur mit einer kleinen Batterie bestellt werden. Bei Modell B entscheiden sich vier von zehn Kunden für die große Batterie, während sich beim Modell C nur $15 \%$ der Kunden für die kleine Batterie entscheiden.

Zusätzlich können alle Modelle noch mit einem Autopilot ( $P$ ) ausgestattet werden. Bei Modell B und C erfolgt die Wahl unabhängig von der Batteriegröße. Dieses Zusatzangebot wählen beim Modell A $20 \%$ der Kunden und beim Modell B jeweils $30 \%$ . Insgesamt werden $41{,}5 \%$ aller Fahrzeuge mit Autopilot gewünscht.

Die Wahl des Modells, der Batteriegröße und der Zusatzfunktion Autopilot eines beliebig herausgegriffenen Kunden wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.

[ Teilergebnis: $\mathrm{P}(\{(\mathrm{C} ; \mathrm{K} ; \mathrm{P})\})=0{,}036$ ]

(6 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln

Struktur des Baumdiagramms

Die Reihenfolge kannst du entweder aus dem Text lesen oder aber am Teilergebnis erkennen.

Auf erster Stufe sind die Fahrzeugarten A, B, C
Auf zweiter Stufe die Batteriegrößen K und G (außer bei A, wo es nur K gibt)
Auf dritter Stufe wird noch nach dem Autopilot gefragt: $P$ und $\overline P$

Vorgegebene Wahrscheinlichkeiten eintragen

Durch Eintragen direkt gegebener Informationen kannst du den Baum noch nicht komplett vervollständigen:

Dabei sind die blauen Werte aus dem Text entnommen, die schwarzen daraufhin ergänzt und die grünen mithilfe der Pfadregel berechnet.

Du weißt, dass $41{,}5\%$ der Autos mit Autopilot verkauft werden.

Das bedeutet:

$\displaystyle 0{,}415$	$=$	$\displaystyle P\left("Autopilot"\right)$
$\displaystyle 0{,}415$	$=$	$\displaystyle P\left(\left\{A;K;P\right\}\right)+P\left(\left\{B;K;P\right\}\right)+P\left(\left\{B;G;P\right\}\right)+P\left(\left\{C;K;P\right\}\right)+\ P\left(\left\{C;G;P\right\}\right)$
	↓	Entnehme dem Baum die vorhandenen Wahrscheinlichkeiten
$\displaystyle 0{,}415$	$=$	$\displaystyle 0{,}07+0{,}063+0{,}042+0{,}3\cdot0{,}15\cdot p+0{,}3\cdot0{,}85\cdot p$

Die letzten zwei Wahrscheinlichkeiten kannst du noch nicht genau angeben, allerdings weißt du, dass die Warscheinlichkeit für einen Autopilot bei Autos vom Typ C unabhängig von der Batteriegröße gleich ist.

Die Wahrscheinlichkeit ist unabhängig von der Batterieart gleich

Löse die Gleichung nach p auf:

$\displaystyle 0{,}415$	$=$	$\displaystyle 0{,}175+0{,}3p$	$\displaystyle -0{,}175$
$\displaystyle 0{,}24$	$=$	$\displaystyle 0{,}3p$	$\displaystyle :0{,}3$
$\displaystyle 0{,}8$	$=$	$\displaystyle p$

Damit kannst du den Baum vervollständigen:

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Gegeben sind folgende Ereignisse:
$E_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell A oder C jeweils mit Autopilot.“
$\mathrm{E}_{2}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den Autopilot.“
Berechnen Sie nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für $E_{1}$ und für $E_{2}$ .
(3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mengenlehre und Logik
Wahrscheinlichkeit von $E_1$
In der Menge $E_1$ ist enthalten:
$E_1=\{(A;K;P);(C;K;P);(C;G;P)\}$
Addiere die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten, um $P(E_1)$ zu erhalten:
$P(E_1)=P(\{(A;K;P)\})+P(\{(C;K;P)\}+P(\{(C;G;P)\}=0{,}07+0{,}036+0{,}204=0{,}31$
Wahrscheinlichkeit von $E_2$
Achte auf die Formulierung mit "...entweder...oder"
In der Menge $E_2$ ist enthalten:
$E_2=\{(A;K;\overline P);(B;K;\overline P);(B;G;P);(C;K;\overline P);(C;G;P)\}$
Auch hier addierst du die Wahrscheinlichkeiten:
$P(E_2)=0{,}25+0{,}147+0{,}042+0{,}009+0{,}204=0{,}682$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Überlege dir zuerst, welche Ergebnisse in den Mengen enthalten sind
Addiere dann die Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm

2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einer Kleinstadt sind $30 \%$ aller zugelassenen Elektroautos der Oberklasse ( $O$ ) zuzuordnen, die restlichen werden der Mittelklasse ( $M$ ) zugeordnet. Die Akkus aller hier betrachteten Elektroautos werden zu $39{,}5\%$ regelmäßig über eine Photovoltaik-Anlage ( $V$ ) des jeweiligen Fahrzeugeigners geladen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig aus all diesen Fahrzeugen ausgewähltes Elektroauto ein Modell der Oberklasse ist und regelmäßig über eine Photovoltaik-Anlage aufgeladen wird, beträgt $25{,}5 \%$ .
1. Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\mathrm{E}_{3}=\overline{\mathrm{M} \cap \mathrm{V}}$ . (4 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Vierfeldertafel anlegen
  Unterschieden werden die Merkmale Photovoltaik-Anlage ( $V, \overline V$ ) und Fahrzeugklasse ( $O, M$ ):
  $V$
  $\overline V$
  $O$
  0,255
  0,045
  0,3
  $M$
  0,14
  0,56
  0,7
  0,395
  0,605
  1
  Die Werte in blau sind aus der Aufgabenstellung.
  Die übrigen Werte können daraus berechnet werden, wobei unten rechts $1$ ( $100\%$ ) steht.
  gesuchte Wahrscheinlichkeit
  Das Ereignis $\overline{M\cap V}$ ist das Gegenereignis von $M\cap V$ , das die Wahrscheinlichkeit $P(M\cap V)=0{,}14$ hat.
  Deshalb ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(\overline{M\cap V})=1-0{,}14=0{,}86$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Entnehme dem Text die Informationen für die Vierfeldertafel und vervollständige diese.
  Vergiss nicht, die Wahrscheinlichkeit von $\overline{M\cap V}$ anzugeben.
2. Untersuchen Sie, ob der Anteil der Fahrzeuge, die über eine Photovoltaik-Anlage des Fahrzeugeigners geladen werden, bei den Oberklasse-Modellen höher ist als bei den Mittelklasse-Modellen. Entscheiden Sie anschließend, ob die Ereignisse $M$ und $V$ stochastisch unabhängig sind. (4 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
  Bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Setze die Wahrscheinlichkeiten aus der Vierfeldertafel in die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ ein.
  Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrzeug regelmäßig an Photovoltaik-Anlagen geladen wird, wenn es ein Oberklasse-Modell ist:
  $P_O(V)=\frac{P(V\cap O)}{P(O)}=\frac{0{,}255}{0{,}3}=0{,}85$
  Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrzeug regelmäßig an Photovoltaik-Anlagen geladen wird, wenn es ein Mittelklasse-Modell ist:
  $P_M(V)=\frac{P(V\cap M)}{P(M)}=\frac{0{,}14}{0{,}7}=0{,}2$
  Der Anteil der Oberklasse-Modelle an den Photovoltaik-Anlagen ist wesentlich höher.
  Stochastische Unabhängigkeit
  Da die bedingten Wahrscheinlichkeiten sich unterscheiden, sind die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Bestimme die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_O(V)$ und $P_M(V)$
  Folgere daraus, ob eine stochastische Unabhängigkeit vorliegt oder prüfe nochmal mit der Formel.

	$V$	$\overline V$
$O$	0,255	0,045	0,3
$M$	0,14	0,56	0,7
	0,395	0,605	1

Am Parkplatz eines großen Einkaufszentrums wurde im Rahmen einer Bachelor-Arbeit eine lang angelegte Studie zum Laden von E-Autos an den dort vorhandenen Ladesäulen durchgeführt. Diese lieferte folgende Ergebnisse: $80 \%$ der Ladevorgänge erfolgen während der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen. Alle anderen Besitzer verbringen die Ladezeit in den umliegenden kleineren Geschäften, Bars, Cafés oder im Biergarten. Zudem wurde festgestellt, dass 5 $\%$ aller auf dem Parkplatz parkenden Pkw E-Autos sind.

Bestimmen Sie, basierend auf den Ergebnissen der Studie, die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$\mathrm{E}_{4}$ : „Unter elf Ladevorgängen erfolgen genau neun in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen.“

$\mathrm{E}_{5}$ : „Unter 50 Ladevorgängen erfolgen mehr als neun aber weniger als 18 in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge nicht im Einkaufszentrum verweilen.“

$\mathrm{E}_{6}$ : „Unter 100 auf dem Parkplatz parkenden Pkw sind mehr E-Autos als nach der Studie zu erwarten wären.“

(6 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette

Wahrscheinlichkeit von $E_4$

Die Länge der Bernoulli-Kette ist $n=11$
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Besitzer im Einkaufszentrum ist, ist $p=0{,}8$
Es sollen genau $k=9$ Personen sein

Insgesamt also:

$P(k=9)=B(11;0{,}8;9)=\binom{11}9\cdot 0{,}8^9\cdot0{,}2^3\approx 0{,}29528$

Wahrscheinlichkeit von $E_5$

Die Länge der Bernoulli-Kette ist $n=50$
Die Wahrscheinlichkeit ist diesmal $p=0{,}2$
Es geht nicht um genau k Treffer, sondern um $9<k<18$ . Du brauchst eine kumulierte Wahrscheinlichkeit

$\displaystyle P\left(9<k<18\right)$	$=$
	↓	Da es sich um weniger als 18 Treffer handelt, verwende als obere Grenze "höchstens 17 Treffer".
	$=$	$\displaystyle P\left(9<k\le17\right)$
	↓	Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 9 aber höchstens 17 Treffer bedeutet, dass von der kumulierten Wahrscheinlichkeit von 0 bis 17 Treffer die Wahrscheinlichkeit von 0 bis 9 Treffer abgezogen werden muss:
	$=$	$\displaystyle P\left(k\le17\right)-P\left(k\le9\right)$
	$=$	$\displaystyle F\left(50;0{,}2;17\right)-F\left(50;0{,}2;9\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}99374-0{,}44374$
	$=$	$\displaystyle 0{,}55$

Wahrscheinlichkeit von $E_6$

"Mehr Autos als nach der Studie zu erwarten wären" bedeutet, dass die Anzahl der entsprechenden Autos größer ist als der Erwartungswert.

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist $\mu=n\cdot p=100\cdot 0{,}05=5$

Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 5 Treffer bekommst du über das Gegenereignis:

$\displaystyle P\left(E_6\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(k>5\right)$
	↓	Verwende das Gegenereignis
	$=$	$\displaystyle 1-P\left(k\le5\right)$
	↓	Es handelt sich um die kumulierte Wahrscheinlichkeit
	$=$	$\displaystyle 1-\ F\left(100;0{,}05;5\right)$
	$=$	$\displaystyle 1-0{,}61600$
	$=$	$\displaystyle 0{,}384$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 2 Stochastik 1

Struktur des Baumdiagramms

Vorgegebene Wahrscheinlichkeiten eintragen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Wahrscheinlichkeit von E1E_1E1​

Wahrscheinlichkeit von E2E_2E2​

Hast du eine Frage oder Feedback?

Vierfeldertafel anlegen

gesuchte Wahrscheinlichkeit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Stochastische Unabhängigkeit

Hast du eine Frage oder Feedback?

Wahrscheinlichkeit von E4E_4E4​

Wahrscheinlichkeit von E5E_5E5​

Wahrscheinlichkeit von E6E_6E6​

Wahrscheinlichkeit von $E_1$

Wahrscheinlichkeit von $E_2$

Wahrscheinlichkeit von $E_4$

Wahrscheinlichkeit von $E_5$

Wahrscheinlichkeit von $E_6$