Heft 2 - B2 - lernen mit Serlo!

Alle Angaben in mm; die Abbildung ist nicht maßstabsgerecht.

Berechne das Volumen des abgebildeten Hammerkopfs, ohne die Öffnung für den Stiel zu beachten. (3 Punkte)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Der Hammerkopf ist ein Prisma mit einer Grundfläche, welche sich aus einem Rechteck und einem Dreieck zusammensetzt.
Flächeninhalt der Grundfläche
Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt der Grundfläche $G$ , indem wir die Fläche des Rechtecks $\mathrm{A_{Rechteck}}$ und des Dreiecks $\mathrm{A_{Dreieck}}$ addieren.
Es gilt:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \text{A}_{\text{Rechteck}} &= 23 \cdot 58 = 1334\\ \text{A}_{\text{Dreieck}} &= \frac{1}{2}\cdot 23\cdot (105-58) = 540{,}5 \end{aligned}$
Damit erhalten wir für die Grundfläche:
$\displaystyle \mathrm{G = A_{\text{Rechteck}} + A_{\text{Dreieck}} = 1334 + 540{,}5 = 1874{,}5}$
Volumen des Hammerkopfes
Somit ergibt sich insgesamt für das Volumen $\text{V}$ , da die Höhe $\text{h}$ des Prismas hier $23$ ist:
$\displaystyle \mathrm{V = G\cdot h = 1874{,}5\cdot 23 = 43113{,}5}$
Das Volumen des Hammerkopfes beträgt also ungefähr $43~100\mathrm{~mm}^3$ bzw. umgerechnet $43{,}1\mathrm{~cm}^3$ .
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Verwende die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas.
Thilo möchte überprüfen, ob der Hammerkopf wirklich aus Stahl besteht. Er berechnet die Dichte $\rho$ mit der Formel:
$\mathrm{m=V \cdot \rho}$
Beim Volumen $\text{V}$ beachtet er die Öffnung für den Stiel nicht und erhält deshalb ein falsches Ergebnis.
Entscheide, ob Thilos Ergebnis für die Dichte zu groß oder zu klein ist und begründe deine Meinung. (2 Punkte)

Indem wir die gegebene Formel nach der Dichte umstellen, erhalten wir $\mathrm{\rho = \frac{m}{V}}$ .
Da Thilo beim Volumen nicht die Öffnung für den Stiel beachtet hat, die normalerweise beim Volumen nicht dazugezählt werden würde, ist seine Volumensangabe zu groß.
Also teilen wir bei der Berechnung der Dichte $\rho$ durch eine zu große Zahl und erhalten damit ein zu kleines Ergebnis.
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Die Öffnung für den Stiel ist nicht kreisrund.
Die Abbildung ist nicht maßstabsgerecht.
Zeige, dass der Flächeninhalt der abgebildeten Öffnung zwischen $1{,}5 \mathrm{~cm}^{2}$ und $3{,}5 \mathrm{~cm}^{2}$ liegen muss. (2 Punkte)
Wenn das Loch größer wäre...
Wir überlegen uns zunächst, dass der Flächeninhalt nicht größer als $3{,}5\mathrm{~cm}^2$ sein kann, denn die Öffnung ist in einem Rechteck mit Seitenlängen $1{,}4\mathrm{~cm}$ und $2{,}5\mathrm{~cm}$ enthalten.
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt also $3{,}5\mathrm{~cm}^2$ (denn $1{,}4\cdot 2{,}5 = 3{,}5$ ) und damit ist auch der Flächeninhalt der Öffnung kleiner als $3{,}5\mathrm{~cm}^2$ .
Abschätzung mithilfe eines Rechtecks
Wenn das Loch größer kleiner wäre...
Für die untere Schranke können wir zum Beispiel feststellen, dass ein Kreis mit Durchmesser $1{,}4\mathrm{~cm}$ in der Öffnung enthalten ist.
Da der Radius dieses Kreises also $0{,}7\mathrm{~cm}$ lang ist, beträgt sein Flächeninhalt $1{,}54\mathrm{~cm}^2$ , wie wir mithilfe der Rechnung $\pi\cdot (0{,}7)^2 \approx 1{,}54$ bestimmt haben.
Damit ist auch der Flächeninhalt der Öffnung größer als $1{,}5\mathrm{~cm}^2$ .
Abschätzung mithilfe eines Kreises
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Versuche, die Fläche durch einfachere Flächen (zum Beispiel Rechtecke, Kreise oder Rauten) abzuschätzen.

Flächeninhalt der Grundfläche

Volumen des Hammerkopfes

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Wenn das Loch größer wäre...

Wenn das Loch größer kleiner wäre...

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