Heft 2 - B2

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Hier findest du die Aufgaben und Lösungen des Mathe MSA 2023 Prüfungsteil 2 Aufgabe 2.

Link zur Formelsammlung

Ein Taschenrechner ist in diesem Prüfungsteil erlaubt.

1
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Hämmer gibt es in verschiedenen Ausführungen. Hier ist ein sogenannter Schlosserhammer abgebildet.
Die folgende Abbildung zeigt verschiedene Schrägbilder des Hammerkopfs.
1. Eines der Schrägbilder hat einen Fehler.
  Markiere diesen Fehler. (1 Punkt)
  Du kannst den Fehler auf dem Bild anklicken.
  
  Das falsche Schrägbild ist das in der unteren linken Ecke, denn bei diesem ist nur eine Kante des Quaders angeschrägt, obwohl dies bei zwei Kanten (welche zueinander parallel sind und eine gemeinsame quadratische Fläche berühren) der Fall sein müsste.
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2. Skizziere in zwei richtigen Schrägbildern jeweils die Öffnung für den Stiel. (1 Punkt)
  
  Möglich wären zwei der folgenden Öffnungen:
  Mögliche Öffnungen für den Stiel des Hammers
  Bei der Überlegung kann es hilfreich sein, sich zu überlegen, dass der Stiel immer durch die Seiten verläuft, welche abgeschrägt sind.
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2
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Alle Angaben in mm; die Abbildung ist nicht maßstabsgerecht.
1. Berechne das Volumen des abgebildeten Hammerkopfs, ohne die Öffnung für den Stiel zu beachten. (3 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
  Der Hammerkopf ist ein Prisma mit einer Grundfläche, welche sich aus einem Rechteck und einem Dreieck zusammensetzt.
  Flächeninhalt der Grundfläche
  Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt der Grundfläche $G$ , indem wir die Fläche des Rechtecks $A_{R e c h t e c k}$ und des Dreiecks $A_{D r e i e c k}$ addieren.
  Es gilt:
  $\begin{aligned} A_{Rechteck} & = 23 \cdot 58 = 1334 \\ A_{Dreieck} & = \frac{1}{2} \cdot 23 \cdot (105 - 58) = 540,5 \end{aligned}$
  Damit erhalten wir für die Grundfläche:
  $G = A_{Rechteck} + A_{Dreieck} = 1334 + 540,5 = 1874,5$
  Volumen des Hammerkopfes
  Somit ergibt sich insgesamt für das Volumen $V$ , da die Höhe $h$ des Prismas hier $23$ ist:
  $V = G \cdot h = 1874,5 \cdot 23 = 43113,5$
  Das Volumen des Hammerkopfes beträgt also ungefähr $43 100 {m m}^{3}$ bzw. umgerechnet $43,1 {c m}^{3}$ .
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  Verwende die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas.
2. Thilo möchte überprüfen, ob der Hammerkopf wirklich aus Stahl besteht. Er berechnet die Dichte $ρ$ mit der Formel:
  $m = V \cdot ρ$
  Beim Volumen $V$ beachtet er die Öffnung für den Stiel nicht und erhält deshalb ein falsches Ergebnis.
  Entscheide, ob Thilos Ergebnis für die Dichte zu groß oder zu klein ist und begründe deine Meinung. (2 Punkte)
  
  Indem wir die gegebene Formel nach der Dichte umstellen, erhalten wir $ρ = \frac{m}{V}$ .
  Da Thilo beim Volumen nicht die Öffnung für den Stiel beachtet hat, die normalerweise beim Volumen nicht dazugezählt werden würde, ist seine Volumensangabe zu groß.
  Also teilen wir bei der Berechnung der Dichte $ρ$ durch eine zu große Zahl und erhalten damit ein zu kleines Ergebnis.
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3. Die Öffnung für den Stiel ist nicht kreisrund.
  Die Abbildung ist nicht maßstabsgerecht.
  Zeige, dass der Flächeninhalt der abgebildeten Öffnung zwischen $1,5 {c m}^{2}$ und $3,5 {c m}^{2}$ liegen muss. (2 Punkte)
  
  Wenn das Loch größer wäre...
  Wir überlegen uns zunächst, dass der Flächeninhalt nicht größer als $3,5 {c m}^{2}$ sein kann, denn die Öffnung ist in einem Rechteck mit Seitenlängen $1,4 c m$ und $2,5 c m$ enthalten.
  Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt also $3,5 {c m}^{2}$ (denn $1,4 \cdot 2,5 = 3,5$ ) und damit ist auch der Flächeninhalt der Öffnung kleiner als $3,5 {c m}^{2}$ .
  Abschätzung mithilfe eines Rechtecks
  Wenn das Loch größer kleiner wäre...
  Für die untere Schranke können wir zum Beispiel feststellen, dass ein Kreis mit Durchmesser $1,4 c m$ in der Öffnung enthalten ist.
  Da der Radius dieses Kreises also $0,7 c m$ lang ist, beträgt sein Flächeninhalt $1,54 {c m}^{2}$ , wie wir mithilfe der Rechnung $π \cdot (0,7)^{2} \approx 1,54$ bestimmt haben.
  Damit ist auch der Flächeninhalt der Öffnung größer als $1,5 {c m}^{2}$ .
  Abschätzung mithilfe eines Kreises
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  Versuche, die Fläche durch einfachere Flächen (zum Beispiel Rechtecke, Kreise oder Rauten) abzuschätzen.
3
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Bei einem Schonhammer hat der Hammerkopf die Form eines Zylinders. Er ist mit kleinen Stahlkugeln gefüllt (siehe Skizze). Thilo möchte die Anzahl der Kugeln in diesem Schonhammer abschätzen.
Thilos Hammer:
Durchmesser des
Hammerkopfs: $3 c m$
1. Zeige durch eine Rechnung, dass der Hohlraum in diesem Schonhammer größer ist als $49 {c m}^{3}$ . (2 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
  Da der Durchmesser des Hammerkopfes $3 c m$ beträgt, ist sein Radius $r = 1,5 c m$ .
  Mit der zusätzlichen Angabe im Bild, dass die Höhe $h$ des Hohlraums ungefähr $7 c m$ beträgt, ergibt sich somit für das Volumen $V$ des Hohlraums:
  $V = r^{2} π h = (1,5)^{2} \cdot π \cdot 7 \approx 49,48 > 49,$
  das Volumen des Hohlraums im Schonhammer ist also mit ungefähr $49,48 {c m}^{3}$ größer als $49 {c m}^{3}$ .
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  Verwende die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders.
2. Das Volumen der Kugeln nimmt nur etwa $70 %$ des Hohlraums ein. Jede Kugel hat ein Volumen von $14,1 {m m}^{3}$ .
  Untersuche, ob der Hohlraum im Hammerkopf groß genug für 2000 Kugeln ist. (4 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
  Wir rechnen zunächst das in (a) berechnete Volumen des Hohlraums in ${mm}^{3}$ um und erhalten $V \approx 49 000 {m m}^{3}$ . Damit nehmen die Kugeln im Hohlraum des Hammers ungefähr $0,7 \cdot 49 000 {m m}^{3} = 34 300 {m m}^{3}$ Volumen ein.
  Dividieren wir dies durch das Volumen einer Kugel, erhalten wir die maximal mögliche Anzahl der Kugeln im Hohlraum:
  $\frac{34 300}{14,1} \approx 2 432 > 2 000.$
  Also ist der Hohlraum groß genug für $2 000$ Kugeln.
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