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Die folgende Tabelle gibt die Entwicklung der Anzahl der verkauften Bücher eines Bandes wieder. Immer am Ende einer vollen Woche werden die Verkaufszahlen beim Verlag dokumentiert. Dabei bezeichnet tt die Anzahl der Wochen ab Verkaufsstart (t=0t = 0) und n(t)n(t) die Anzahl der verkauften Bücher pro Woche in Tausend. Aufgrund eines einwöchigen Vorbestellungszeitraums werden beim Verkaufsstart bereits 2680026800 Bücher und nach einer Woche weitere 3000030000 verkauft.

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  1. Stellen Sie die Zuordnung tn(t)t\rightarrow n(t) in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar. Verbinden Sie die Punkte zu einer glatten Kurve und formulieren Sie eine Hypothese, wie sich die Verkaufszahlen nach der 10. Woche verhalten werden.

  2. Ausgehend von den Tabellenwerten wird für die Anzahl v(t)v(t) der wöchentlich verkauften Bücher in Tausend ein mathematisches Modell mit folgender Zuordnungsvorschrift −v:t3000t212t+111v: t\rightarrow \dfrac{3000}{t^2-12t+111} mit tRt\in \mathbb{R} und t0t\ge 0 entwickelt. Mit der Funktion vv sollen Prognosen angestellt werden, die über die 10. Woche hinausgehen

    1) Das Modell wird als aussagekräftig und realitätsnah eingestuft, wenn die tatsächlichen Werte von den berechneten um weniger als 55 % abweichen. Zur Überprüfung werden in der folgenden Tabelle die beiden Hilfsfunktionen uu und oo herangezogen mit u(t)=0,95v(t)u(t)=0{,}95 \cdot v(t) bzw. o(t)=1,05v(t)o(t)=1{,}05 \cdot v(t)

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    Ergänzen Sie die fehlenden Werte in obenstehender Tabelle und beurteilen Sie, ob die Funktion vv als realitätsnah bezeichnet werden kann.

    2) Ermitteln Sie, in der wievielten Woche nach dem Modell die Verkaufszahl 40004000 Bücher pro Woche beträgt.

    3) Berechnen Sie die Art und die Koordinaten des relativen Extrempunktes des Graphen der Funktion vv. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang.

    [Mögliches Teilergebnis: v(t)=6000(t6)(t212t+111)2v(t)=-\dfrac{6000\cdot(t-6)}{(t^2-12t+111)^2} ]