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Teil 2 Analysis 1

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  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x→1x+1+ln(x+1)f: x\rightarrow \dfrac{1}{x+1}+ln(x+1) mit ihrer maximalen Definitionsmenge Df⊂R.D_f \subset \mathbb{R}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

    1. Zeigen Sie, dass die Funktion ff die maximale Definitionsmenge Df=]−1;+∞[D_f=]-1;+\infty[ besitzt.

    2. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion ff und die Art sowie die Koordinaten des einzigen Extrempunktes von GfG_f.

      [Mögliches Teilergebnis: fâ€Č(x)=x(x+1)2f'(x)=\dfrac{x}{(x+1)^2} ]

    3. Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes von GfG_f.

      [Mögliches Teilergebnis: fâ€Čâ€Č(x)=−x+1(x+1)3f''(x)=\dfrac{-x+1}{(x+1)^3} ]

    4. Der Graph G_f besitzt die senkrechte Asymptote x=−1x=-1. Zeichnen Sie GfG_f im Bereich −1<x≀6-1\lt x\le 6 unter Verwendung vorliegender Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie die senkrechte Asymptote in ein kartesisches Koordinatensystem. Geben Sie auch die Wertemenge der Funktion ff an.

      Maßstab auf beiden Achsen: 1LE=1cm1 LE = 1cm

    5. Die Funktion F:x→(x+2)⋅ln(x+1)−xF: x\rightarrow (x+2)\cdot ln(x+1)-x ist in ihrer Definitionsmenge DF=DfD_F=D_f eine Stammfunktion von ff. (Nachweis nicht nötig!).

      Zeigen Sie, dass gilt: ∫05 f(x)dx≈7,54\int_{0}^{5} \ f(x) \mathrm{d}x \approx 7{,}54

    6. Markieren Sie in der Zeichnung aus Teilaufgabe d die beiden FlĂ€chenstĂŒcke, deren FlĂ€chenmaßzahlen A1A_1 bzw. A2A_2 durch folgende Integrale berechnet werden können.

      A1=∫05 (f(x)−1)dxA_1=\int_{0}^{5} \ (f(x)-1) \mathrm{d}x

      A2=∫05 (2−f(x))dxA_2=\int_{0}^{5} \ (2- f(x)) \mathrm{d}x

      berechnet werden können.

      Ermitteln Sie A1A_1 auf zwei Nachkommastellen gerundet.

  2. 2

    Die folgende Tabelle gibt die Entwicklung der Anzahl der verkauften BĂŒcher eines Bandes wieder. Immer am Ende einer vollen Woche werden die Verkaufszahlen beim Verlag dokumentiert. Dabei bezeichnet tt die Anzahl der Wochen ab Verkaufsstart (t=0t = 0) und n(t)n(t) die Anzahl der verkauften BĂŒcher pro Woche in Tausend. Aufgrund eines einwöchigen Vorbestellungszeitraums werden beim Verkaufsstart bereits 2680026800 BĂŒcher und nach einer Woche weitere 3000030000 verkauft.

    Bild
    1. Stellen Sie die Zuordnung t→n(t)t\rightarrow n(t) in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar. Verbinden Sie die Punkte zu einer glatten Kurve und formulieren Sie eine Hypothese, wie sich die Verkaufszahlen nach der 10. Woche verhalten werden.

    2. Ausgehend von den Tabellenwerten wird fĂŒr die Anzahl v(t)v(t) der wöchentlich verkauften BĂŒcher in Tausend ein mathematisches Modell mit folgender Zuordnungsvorschrift −v:t→3000t2−12t+111v: t\rightarrow \dfrac{3000}{t^2-12t+111} mit t∈Rt\in \mathbb{R} und t≄0t\ge 0 entwickelt. Mit der Funktion vv sollen Prognosen angestellt werden, die ĂŒber die 10. Woche hinausgehen

      1) Das Modell wird als aussagekrĂ€ftig und realitĂ€tsnah eingestuft, wenn die tatsĂ€chlichen Werte von den berechneten um weniger als 55 % abweichen. Zur ÜberprĂŒfung werden in der folgenden Tabelle die beiden Hilfsfunktionen uu und oo herangezogen mit u(t)=0,95⋅v(t)u(t)=0{,}95 \cdot v(t) bzw. o(t)=1,05⋅v(t)o(t)=1{,}05 \cdot v(t)

      Bild

      ErgÀnzen Sie die fehlenden Werte in obenstehender Tabelle und beurteilen Sie, ob die Funktion vv als realitÀtsnah bezeichnet werden kann.

      2) Ermitteln Sie, in der wievielten Woche nach dem Modell die Verkaufszahl 40004000 BĂŒcher pro Woche betrĂ€gt.

      3) Berechnen Sie die Art und die Koordinaten des relativen Extrempunktes des Graphen der Funktion vv. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang.

      [Mögliches Teilergebnis: v(t)=−6000⋅(t−6)(t2−12t+111)2v(t)=-\dfrac{6000\cdot(t-6)}{(t^2-12t+111)^2} ]


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