Teil 2 Analysis 1

Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ die maximale Definitionsmenge $D_f=]-1;+\infty[$ besitzt.

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$ und die Art sowie die Koordinaten des einzigen Extrempunktes von $G_f$.

[Mögliches Teilergebnis: $f'(x)=\dfrac{x}{(x+1)^2}$ ]

Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes von $G_f$.

[Mögliches Teilergebnis: $f''(x)=\dfrac{-x+1}{(x+1)^3}$ ]

Der Graph G_f besitzt die senkrechte Asymptote $x=-1$. Zeichnen Sie $G_f$ im Bereich $-1\lt x\le 6$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie die senkrechte Asymptote in ein kartesisches Koordinatensystem. Geben Sie auch die Wertemenge der Funktion $f$ an.

Maßstab auf beiden Achsen: $1 LE = 1cm$

Die Funktion $F: x\rightarrow (x+2)\cdot ln(x+1)-x$ ist in ihrer Definitionsmenge $D_F=D_f$ eine Stammfunktion von $f$. (Nachweis nicht nötig!).

Zeigen Sie, dass gilt: $\int_{0}^{5} \ f(x) \mathrm{d}x \approx 7{,}54$

Markieren Sie in der Zeichnung aus Teilaufgabe d die beiden Flächenstücke, deren Flächenmaßzahlen $A_1$ bzw. $A_2$ durch folgende Integrale berechnet werden können.

$A_1=\int_{0}^{5} \ (f(x)-1) \mathrm{d}x$

$A_2=\int_{0}^{5} \ (2- f(x)) \mathrm{d}x$

berechnet werden können.

Ermitteln Sie $A_1$ auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Stellen Sie die Zuordnung $t\rightarrow n(t)$ in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar. Verbinden Sie die Punkte zu einer glatten Kurve und formulieren Sie eine Hypothese, wie sich die Verkaufszahlen nach der 10. Woche verhalten werden.

Ausgehend von den Tabellenwerten wird für die Anzahl $v(t)$ der wöchentlich verkauften Bücher in Tausend ein mathematisches Modell mit folgender Zuordnungsvorschrift −$v: t\rightarrow \dfrac{3000}{t^2-12t+111}$ mit $t\in \mathbb{R}$ und $t\ge 0$ entwickelt. Mit der Funktion $v$ sollen Prognosen angestellt werden, die über die 10. Woche hinausgehen

1) Das Modell wird als aussagekräftig und realitätsnah eingestuft, wenn die tatsächlichen Werte von den berechneten um weniger als $5$ % abweichen. Zur Überprüfung werden in der folgenden Tabelle die beiden Hilfsfunktionen $u$ und $o$ herangezogen mit $u(t)=0{,}95 \cdot v(t)$ bzw. $o(t)=1{,}05 \cdot v(t)$

Ergänzen Sie die fehlenden Werte in obenstehender Tabelle und beurteilen Sie, ob die Funktion $v$ als realitätsnah bezeichnet werden kann.

2) Ermitteln Sie, in der wievielten Woche nach dem Modell die Verkaufszahl $4000$ Bücher pro Woche beträgt.

3) Berechnen Sie die Art und die Koordinaten des relativen Extrempunktes des Graphen der Funktion $v$. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang.

[Mögliches Teilergebnis: $v(t)=-\dfrac{6000\cdot(t-6)}{(t^2-12t+111)^2}$ ]