Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ die maximale Definitionsmenge $D_f=]-1;+\infty [$ besitzt.

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$ und die Art sowie die Koordinaten des einzigen Extrempunktes von $G_f$.

[Mögliches Teilergebnis: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x}{(x+1{)}^2}}$ ]

Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes von $G_f$.

[Mögliches Teilergebnis: $f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{-x+1}{(x+1{)}^3}}$ ]

Der Graph G_f besitzt die senkrechte Asymptote $x=-1$. Zeichnen Sie $G_f$ im Bereich $-1<x\le 6$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie die senkrechte Asymptote in ein kartesisches Koordinatensystem. Geben Sie auch die Wertemenge der Funktion $f$ an.

Maßstab auf beiden Achsen: $1LE=1cm$

Die Funktion $F:x\to (x+2)\cdot ln(x+1)-x$ ist in ihrer Definitionsmenge $D_F=D_f$ eine Stammfunktion von $f$. (Nachweis nicht nötig!).

Zeigen Sie, dass gilt: ${\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x\approx \mathrm{7,54}$

Markieren Sie in der Zeichnung aus Teilaufgabe d die beiden Flächenstücke, deren Flächenmaßzahlen $A_1$ bzw. $A_2$ durch folgende Integrale berechnet werden können.

$A_1={\int }_0^5(f(x)-1)\mathrm{d}x$

$A_2={\int }_0^5(2-f(x))\mathrm{d}x$

berechnet werden können.

Ermitteln Sie $A_1$ auf zwei Nachkommastellen gerundet.