Zeige, dass die Funktion $f$ die maximale Definitionsmenge $D_f=]-1;+\infty [$ besitzt

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x+1}}+\ln (x+1)$

Betrachte den ersten Term ${\displaystyle \frac{1}{x+1}}$:

Hier muss $x+1\ne 0$ sein $\Rightarrow x\ne -1$

Für den zweiten Term $\ln (x+1)$ gilt:

$x+1>0\Rightarrow x>-1$

Beide Terme zusammen betrachtet ergeben die angegebene Definitionsmenge, d.h. für $f(x)$ gilt $D_f=]-1;+\infty [$.

Ermittle die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$

Bilde die 1. Ableitung von $f(x)$.

$f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$

Bringe auf den Hauptnenner $(x+1{)}^2$:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-1+(x+1)}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{x}{(x+1{)}^2}}✓$

Ermittle die Art sowie die Koordinaten des einzigen Extrempunktes von $G_f$

Für einen Extrempunkt gilt: $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=0$

Erstelle z.B. eine Monotonietabelle oder berechne die 2. Ableitung.

Es ist $f(0)=1\Rightarrow TP(0|1)$.

Ermittle die Koordinaten des Wendepunktes von $G_f$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\prime \prime }(x)=0$.

Bilde die 2. Ableitung von $f(x)$.

$f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{(x+1{)}^2\cdot 1-x\cdot 2\cdot (x+1)\cdot 1}{(x+1{)}^4}}$

Klammere $(x+1)$ aus und kürze:

$f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{x+1-2x}{(x+1{)}^3}}={\displaystyle \frac{-x+1}{(x+1{)}^3}}✓$

$f^{\prime \prime }(x)=0\Rightarrow -x+1=0\Rightarrow x=1$

Untersuche den Vorzeichenwechsel an der Stelle $x=1$.

$f^{\prime \prime }(0)=1>0$ und $f^{\prime \prime }(2)=-{\displaystyle \frac{1}{27}}<0$$\Rightarrow WP$

$f(1)={\displaystyle \frac{1}{1+1}}+\ln (1+1)=\mathrm{0,5}+\ln 2\approx \mathrm{1,19}\Rightarrow WP(1|\mathrm{1,19})$

Die Koordinaten des Wendepunktes von $G_f$ sind $WP(1|\mathrm{1,19})$.

Zeichne $G_f$ im Bereich $-1<x\le 6$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie die senkrechte Asymptote in ein kartesisches Koordinatensystem. Gib auch die Wertemenge der Funktion $f$ an

Die Wertemenge der Funktion $f$ ist $[1;+\infty [$.

Zeige, dass gilt: $${\displaystyle {\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x\approx \mathrm{7,54}}$$

Es ist $F(x)=(x+2)\cdot \ln (x+1)-x$.

$${\displaystyle {\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x=F(5)-F(0)}$$

$F(5)=(5+2)\cdot \ln (5+1)-5=7\cdot \ln 6-5\approx \mathrm{7,54}$ und $F(0)=0$

$$\Rightarrow {\displaystyle {\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x\approx \mathrm{7,54}}$$

Markiere in der Zeichnung aus Teilaufgabe d) die beiden Flächenstücke, deren Flächenmaßzahlen $A_1$ bzw. $A_2$ durch folgende Integrale $$A_1={\displaystyle {\int }_0^5(f(x)-1)\mathrm{d}x}$$ $$A_2={\displaystyle {\int }_0^5(2-f(x))\mathrm{d}x}$$ berechnet werden können

Ermittle $A_1$ auf zwei Nachkommastellen gerundet

Mit dem Ergebnis aus Aufgabe e) erhält man:

$$A_1={\displaystyle {\int }_0^5(f(x)-1)\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x-{\displaystyle {\int }_0^{5}1\mathrm{d}x\approx \mathrm{7,54}-5=\mathrm{2,54}\mathrm{FE}}}}$$