Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ die maximale Definitionsmenge $D_f=]-1;+\infty[$ besitzt.

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$ und die Art sowie die Koordinaten des einzigen Extrempunktes von $G_f$.

[Mögliches Teilergebnis: $f'(x)=\dfrac{x}{(x+1)^2}$ ]

Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes von $G_f$.

[Mögliches Teilergebnis: $f''(x)=\dfrac{-x+1}{(x+1)^3}$ ]

Der Graph G_f besitzt die senkrechte Asymptote $x=-1$. Zeichnen Sie $G_f$ im Bereich $-1\lt x\le 6$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie die senkrechte Asymptote in ein kartesisches Koordinatensystem. Geben Sie auch die Wertemenge der Funktion $f$ an.

Maßstab auf beiden Achsen: $1 LE = 1cm$

Die Funktion $F: x\rightarrow (x+2)\cdot ln(x+1)-x$ ist in ihrer Definitionsmenge $D_F=D_f$ eine Stammfunktion von $f$. (Nachweis nicht nötig!).

Zeigen Sie, dass gilt: $\int_{0}^{5} \ f(x) \mathrm{d}x \approx 7{,}54$

Markieren Sie in der Zeichnung aus Teilaufgabe d die beiden Flächenstücke, deren Flächenmaßzahlen $A_1$ bzw. $A_2$ durch folgende Integrale berechnet werden können.

$A_1=\int_{0}^{5} \ (f(x)-1) \mathrm{d}x$

$A_2=\int_{0}^{5} \ (2- f(x)) \mathrm{d}x$

berechnet werden können.

Ermitteln Sie $A_1$ auf zwei Nachkommastellen gerundet.