Zeigen Sie, dass die Funktion $ff$ die maximale Definitionsmenge $D_f=]-1;+\mathrm{\infty }[D\_f=]-1;+\backslash infty[$ besitzt.

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $ff$ und die Art sowie die Koordinaten des einzigen Extrempunktes von $G_{f}G\_f$.

[Mögliches Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x}{(x+1{)}^2}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{x\}\{(x+1)^2\}$ ]

Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes von $G_{f}G\_f$.

[Mögliches Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-x+1}{(x+1{)}^3}}f\text{'}\text{'}(x)=\backslash dfrac\{-x+1\}\{(x+1)^3\}$ ]

Der Graph G_f besitzt die senkrechte Asymptote $x=-1x=-1$. Zeichnen Sie $G_{f}G\_f$ im Bereich $-1<x\le 6-1\backslash lt\; x\backslash le\; 6$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie die senkrechte Asymptote in ein kartesisches Koordinatensystem. Geben Sie auch die Wertemenge der Funktion $ff$ an.

Maßstab auf beiden Achsen: $1LE=1cm1\; LE\; =\; 1cm$

Die Funktion $F:x\to (x+2)\cdot ln(x+1)-xF:\; x\backslash rightarrow\; (x+2)\backslash cdot\; ln(x+1)-x$ ist in ihrer Definitionsmenge $D_F=D_{f}D\_F=D\_f$ eine Stammfunktion von $ff$. (Nachweis nicht nötig!).

Zeigen Sie, dass gilt: ${\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x\approx 7,54\backslash int\_\{0\}^\{5\}\; \backslash \; f(x)\; \backslash mathrm\{d\}x\; \backslash approx\; 7\{,\}54$

Markieren Sie in der Zeichnung aus Teilaufgabe d die beiden Flächenstücke, deren Flächenmaßzahlen $A_{1}A\_1$ bzw. $A_{2}A\_2$ durch folgende Integrale berechnet werden können.

$A_1={\int }_0^5(f(x)-1)\mathrm{d}xA\_1=\backslash int\_\{0\}^\{5\}\; \backslash \; (f(x)-1)\; \backslash mathrm\{d\}x$

$A_2={\int }_0^5(2-f(x))\mathrm{d}xA\_2=\backslash int\_\{0\}^\{5\}\; \backslash \; (2-\; f(x))\; \backslash mathrm\{d\}x$

berechnet werden können.

Ermitteln Sie $A_{1}A\_1$ auf zwei Nachkommastellen gerundet.