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Gegeben ist die Funktion f:x→1x+1+ln(x+1)f: x\rightarrow \dfrac{1}{x+1}+ln(x+1) mit ihrer maximalen Definitionsmenge Df⊂R.D_f \subset \mathbb{R}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

  1. Zeigen Sie, dass die Funktion ff die maximale Definitionsmenge Df=]−1;+∞[D_f=]-1;+\infty[ besitzt.

  2. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion ff und die Art sowie die Koordinaten des einzigen Extrempunktes von GfG_f.

    [Mögliches Teilergebnis: fâ€Č(x)=x(x+1)2f'(x)=\dfrac{x}{(x+1)^2} ]

  3. Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes von GfG_f.

    [Mögliches Teilergebnis: fâ€Čâ€Č(x)=−x+1(x+1)3f''(x)=\dfrac{-x+1}{(x+1)^3} ]

  4. Der Graph G_f besitzt die senkrechte Asymptote x=−1x=-1. Zeichnen Sie GfG_f im Bereich −1<x≀6-1\lt x\le 6 unter Verwendung vorliegender Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie die senkrechte Asymptote in ein kartesisches Koordinatensystem. Geben Sie auch die Wertemenge der Funktion ff an.

    Maßstab auf beiden Achsen: 1LE=1cm1 LE = 1cm

  5. Die Funktion F:x→(x+2)⋅ln(x+1)−xF: x\rightarrow (x+2)\cdot ln(x+1)-x ist in ihrer Definitionsmenge DF=DfD_F=D_f eine Stammfunktion von ff. (Nachweis nicht nötig!).

    Zeigen Sie, dass gilt: ∫05 f(x)dx≈7,54\int_{0}^{5} \ f(x) \mathrm{d}x \approx 7{,}54

  6. Markieren Sie in der Zeichnung aus Teilaufgabe d die beiden FlĂ€chenstĂŒcke, deren FlĂ€chenmaßzahlen A1A_1 bzw. A2A_2 durch folgende Integrale berechnet werden können.

    A1=∫05 (f(x)−1)dxA_1=\int_{0}^{5} \ (f(x)-1) \mathrm{d}x

    A2=∫05 (2−f(x))dxA_2=\int_{0}^{5} \ (2- f(x)) \mathrm{d}x

    berechnet werden können.

    Ermitteln Sie A1A_1 auf zwei Nachkommastellen gerundet.