Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie II

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das Dach eines Hauses liegt in einer Ebene $H$ . In einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}^3$ ist die Ebene $H$ durch die drei Punkte $P(5|0|8)$ , $Q(5| - 7{,}2|10)$ und $R(10| - 10{,}8|11)$ festgelegt. Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Meter.
Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden.
1. Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung der Ebene $H$ in Parameter- und Koordinatenform und beschreiben Sie deren besondere Lage im Koordinatensystem.
  [ mögliches Teilergebnis: $H: 5x_2+18x_3=144$ ]
2. Die Größe des Neigungswinkels des Daches $H$ gegen die Horizontale muss gemäß einer örtlichen Bauvorschrift mindestens $15°$ betragen. Zeigen Sie rechnerisch, dass die örtliche Bauvorschrift eingehalten wird.
3. Zur Überdachung der Terrasse $KLMN$ , die in der $x_1-x_2$ -Koordinatenebene liegt, wird ein rechteckiges Glasdach $AEFD$ , dessen Neigungswinkel verstellbar ist, aufgebaut. Das Glasdach liegt in der Ebene $G_a:(-1{,}8a+9{,}9) x_1+(36-6a)x_2+10{,}8 x_3+14{,}4a=119{,}16$
  mit dem Parameter $a\in \mathbb{R}$ .
  Die Ebenen $H$ und $G_a$ sollen parallel zueinander liegen. Ermitteln Sie hieraus den Wert des zugehörigen Parameters $a$ .
  [ Ergebnis: $a=5{,}5$ ]
4. Zeigen Sie, dass die Punkte $A(8|0|3{,}7$ ) und $B(8|3{,}42|2{,}75$ ) in der Ebene $G_{5{,}5}$ liegen.
5. Für die folgenden Teilaufgaben gilt: $D(2|0|3{,}7)$ und $K(8|0|0)$ .
  Das Glasdach $AEFD$ ist festgelegt durch die Punkte $A$ , $E$ und $D$ . Aus statischen Gründen darf die Glasüberdachung nur um maximal $20$ %der Länge von $\overline{AB}$ über den Punkt $B$ hinausragen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $E$ , wenn die maximal zulässige Länge vollständig ausgenutzt wird.
  Hinweis: $\left| \overrightarrow{AE} \right|=1{,}2\cdot \left| \overrightarrow{AB} \right|$
6. Als Windschutz sollen die drei Seitenflächen $AKLB$ , $BLMC$ und $DNMC$ verglast werden. Der umbaute Raum besitzt die Form eines geraden trapezförmigen Prismas. Geben Sie die Koordinaten des Punktes $L$ an. Berechnen Sie die Materialkosten für die drei Seitenflächen, wenn der Preis $200€$ pro $1m^2$ beträgt.

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