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Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie II

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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  1. 1

    Das Dach eines Hauses liegt in einer Ebene H. In einem kartesischen Koordinatensystem des ℝ3 ist die Ebene H durch die drei Punkte P(5|0|8), Q(5|−7,2|10) und R(10|−10,8|11) festgelegt. Die Koordinaten der Punkte sind LĂ€ngenangaben in der Einheit Meter.

    Auf die MitfĂŒhrung von Einheiten wĂ€hrend der Rechnungen kann verzichtet werden.

    Bild
    1. Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung der Ebene H in Parameter- und Koordinatenform und beschreiben Sie deren besondere Lage im Koordinatensystem.

      [ mögliches Teilergebnis: H:5x2+18x3=144 ] (6 BE)

    2. Die GrĂ¶ĂŸe des Neigungswinkels des Daches H gegen die Horizontale muss gemĂ€ĂŸ einer örtlichen Bauvorschrift mindestens 15° betragen. Zeigen Sie rechnerisch, dass die örtliche Bauvorschrift eingehalten wird. (3 BE)

    3. Zur Überdachung der Terrasse KLMN, die in der x1−x2-Koordinatenebene liegt, wird ein rechteckiges Glasdach AEFD, dessen Neigungswinkel verstellbar ist, aufgebaut. Das Glasdach liegt in der Ebene Ga:(−1,8a+9,9)x1+(36−6a)x2+10,8x3+14,4a=119,16

      mit dem Parameter a∈ℝ. (3 BE)

      Die Ebenen H und Ga sollen parallel zueinander liegen. Ermitteln Sie hieraus den Wert des zugehörigen Parameters a.

      [ Ergebnis: a=5,5 ]

    4. Zeigen Sie, dass die Punkte A(8|0|3,7) und B(8|3,42|2,75) in der Ebene G5,5 liegen.

      (2 BE)

    5. FĂŒr die folgenden Teilaufgaben gilt: D(2|0|3,7) und K(8|0|0).

      Das Glasdach AEFD ist festgelegt durch die Punkte A, E und D. Aus statischen GrĂŒnden darf die GlasĂŒberdachung nur um maximal 20% der LĂ€nge von AB ĂŒber den Punkt B hinausragen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes E, wenn die maximal zulĂ€ssige LĂ€nge vollstĂ€ndig ausgenutzt wird.

      Hinweis: |AE→|=1,2⋅|AB→| (3 BE)

    6. Als Windschutz sollen die drei SeitenflĂ€chen AKLB, BLMC und DNMC verglast werden. Der umbaute Raum besitzt die Form eines geraden trapezförmigen Prismas. Geben Sie die Koordinaten des Punktes L an. Berechnen Sie die Materialkosten fĂŒr die drei SeitenflĂ€chen, wenn der Preis 200€ pro 1 m2 betrĂ€gt. (6 BE)


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