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Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie II

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Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen Hilfsmittel verwendet werden.

  1. 1

    Das Dach eines Hauses liegt in einer Ebene HH. In einem kartesischen Koordinatensystem des R3\mathbb{R}^3 ist die Ebene HH durch die drei Punkte P(508)P(5|0|8), Q(57,210)Q(5| - 7{,}2|10) und R(1010,811)R(10| - 10{,}8|11) festgelegt. Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Meter.

    Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden.

    Bild
    1. Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung der Ebene HH in Parameter- und Koordinatenform und beschreiben Sie deren besondere Lage im Koordinatensystem.

      [ mögliches Teilergebnis: H:5x2+18x3=144H: 5x_2+18x_3=144 ]

    2. Die Größe des Neigungswinkels des Daches HH gegen die Horizontale muss gemäß einer örtlichen Bauvorschrift mindestens 15°15° betragen. Zeigen Sie rechnerisch, dass die örtliche Bauvorschrift eingehalten wird.

    3. Zur Überdachung der Terrasse KLMNKLMN, die in der x1x2x_1-x_2-Koordinatenebene liegt, wird ein rechteckiges Glasdach AEFDAEFD, dessen Neigungswinkel verstellbar ist, aufgebaut. Das Glasdach liegt in der Ebene Ga:(1,8a+9,9)x1+(366a)x2+10,8x3+14,4a=119,16G_a:(-1{,}8a+9{,}9) x_1+(36-6a)x_2+10{,}8 x_3+14{,}4a=119{,}16

      mit dem Parameter aRa\in \mathbb{R}.

      Die Ebenen HH und GaG_a sollen parallel zueinander liegen. Ermitteln Sie hieraus den Wert des zugehörigen Parameters aa.

      [ Ergebnis: a=5,5a=5{,}5 ]

    4. Zeigen Sie, dass die Punkte A(803,7A(8|0|3{,}7) und B(83,422,75B(8|3{,}42|2{,}75) in der Ebene G5,5G_{5{,}5}liegen.

    5. Für die folgenden Teilaufgaben gilt: D(203,7)D(2|0|3{,}7) und K(800)K(8|0|0).

      Das Glasdach AEFDAEFD ist festgelegt durch die Punkte AA, EE und DD. Aus statischen Gründen darf die Glasüberdachung nur um maximal 2020 %der Länge von AB\overline{AB} über den Punkt BB hinausragen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes EE, wenn die maximal zulässige Länge vollständig ausgenutzt wird.

      Hinweis: AE=1,2AB\left| \overrightarrow{AE} \right|=1{,}2\cdot \left| \overrightarrow{AB} \right|

    6. Als Windschutz sollen die drei Seitenflächen AKLBAKLB, BLMCBLMC und DNMCDNMC verglast werden. Der umbaute Raum besitzt die Form eines geraden trapezförmigen Prismas. Geben Sie die Koordinaten des Punktes LL an. Berechnen Sie die Materialkosten für die drei Seitenflächen, wenn der Preis 200200€ pro 1m21m^2 beträgt.


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