Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie II

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das Dach eines Hauses liegt in einer Ebene $H$ . In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ ist die Ebene $H$ durch die drei Punkte $P (5 | 0 | 8)$ , $Q (5 | - 7,2 | 10)$ und $R (10 | - 10,8 | 11)$ festgelegt. Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Meter.
Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden.
1. Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung der Ebene $H$ in Parameter- und Koordinatenform und beschreiben Sie deren besondere Lage im Koordinatensystem.
  [ mögliches Teilergebnis: $H : 5 x_{2} + 18 x_{3} = 144$ ] (6 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln
  Ermittle jeweils eine Gleichung der Ebene $H$ in Parameter- und Koordinatenform
  $E_{P Q R} : \vec{x} = \vec{O P} + r \cdot \vec{P Q} + s \cdot \vec{P R} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 8 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 5 - 5 \\ - 7,2 - 0 \\ 10 - 8 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 10 - 5 \\ - 10,8 - 0 \\ 11 - 8 \end{array})$
  Die Gleichung der Ebene $H$ in Parameterform lautet:
  $E_{P Q R} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 8 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 7,2 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ - 10,8 \\ 3 \end{array})$
  Umwandlung in die Koordinatenform:
  Berechne den Normalenvektor ${\vec{n}}_{H}$ von $H$ :
  ${\vec{n}}_{H} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 7,2 \\ 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 5 \\ - 10,8 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 36 \end{array})$
  Dann ist $H : 0 \cdot x_{1} + 10 \cdot x_{2} + 36 \cdot x_{3} = d$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P (5 | 0 | 8)$ ein, um $d$ zu berechnen:
  $0 + 0 + 36 \cdot 8 = d \Rightarrow d = 288$
  $\Rightarrow H : 10 \cdot x_{2} + 36 \cdot x_{3} = 288$
  Die Ebenengleichung kann noch durch $2$ dividiert werden.
  $\Rightarrow$ Die Gleichung der Ebene $H$ in Koordinatenform lautet dann:
  $H : 5 \cdot x_{2} + 18 \cdot x_{3} = 144 ✓$
  Beschreibe deren besondere Lage im Koordinatensystem
  Die Ebene $H$ ist echt parallel zur $x_{1}$ -Achse.
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  Teil 1
  Berechne $E_{P Q R} : \vec{x} = \vec{O P} + r \cdot \vec{P Q} + s \cdot \vec{P R}$ .
  Wandle dann in die Koordinatenform um.
  Teil 2
  Die $x_{1}$ -Komponente bei der Ebenengleichung tritt nicht auf.
  Was bedeutet das?
2. Die Größe des Neigungswinkels des Daches $H$ gegen die Horizontale muss gemäß einer örtlichen Bauvorschrift mindestens $15 °$ betragen. Zeigen Sie rechnerisch, dass die örtliche Bauvorschrift eingehalten wird. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
  Zeige rechnerisch, dass die örtliche Bauvorschrift eingehalten wird
  Es ist ${\vec{n}}_{H} = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 18 \end{array})$ der Normalenvektor der Ebene $H$ und $| \vec{n_{H}} | = \sqrt{0^{2} + 5^{2} + 18^{2}} = \sqrt{349}$ .
  $\vec{n_{x_{1} x_{2}}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ ist der Normalenvektor der $x_{1} x_{2}$ −Ebene und $| \vec{n_{x_{1} x_{2}}} | = 1$ .
  $\cos φ = \frac{| \vec{n_{H}} \circ \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}{| \vec{n_{H}} | \cdot | \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |} = \frac{| (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 18 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) |}{\sqrt{349} \cdot 1} = \frac{18}{\sqrt{349}}$
  $φ = \cos^{- 1} (\frac{18}{\sqrt{349}}) \approx 15,52 °$
  Der Neigungswinkel der Ebene $H$ zum Boden beträgt rund $15,52 ° > 15 °$ .
  Die örtliche Bauvorschrift wird eingehalten.
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  Berechne $\cos φ = \frac{| \vec{n_{H}} \circ \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}{| \vec{n_{H}} | \cdot | \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}$ $\Rightarrow φ$
  Vergleiche $φ$ mit $15 °$ .
3. Zur Überdachung der Terrasse $K L M N$ , die in der $x_{1} - x_{2}$ -Koordinatenebene liegt, wird ein rechteckiges Glasdach $A E F D$ , dessen Neigungswinkel verstellbar ist, aufgebaut. Das Glasdach liegt in der Ebene $G_{a} : (- 1,8 a + 9,9) x_{1} + (36 - 6 a) x_{2} + 10,8 x_{3} + 14,4 a = 119,16$
  mit dem Parameter $a \in ℝ$ . (3 BE)
  Die Ebenen $H$ und $G_{a}$ sollen parallel zueinander liegen. Ermitteln Sie hieraus den Wert des zugehörigen Parameters $a$ .
  [ Ergebnis: $a = 5,5$ ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
  Ermittle den Wert des zugehörigen Parameters $a$
  Gegeben sind $H : 5 \cdot x_{2} + 18 \cdot x_{3} = 144$ und $G_{a} : (- 1,8 a + 9,9) x_{1} + (36 - 6 a) x_{2} + 10,8 x_{3} + 14,4 a = 119,16$
  Wenn $H ∥ G_{a}$ , dann muss $- 1,8 a + 9,9 = 0$ sein $\Rightarrow a = \frac{9,9}{1,8} = 5,5$ .
  Dann ist $G_{5,5} : (36 - 6 \cdot 5,5) x_{2} + 10,8 x_{3} + 14,4 \cdot 5,5 = 119,16$ .
  Zusammengefasst folgt:
  $G_{5,5} : 3 x_{2} + 10,8 x_{3} = 39,96$
  Vergleiche die Normalenvektoren von $H$ und $G_{5,5}$ :
  $(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 18 \end{array}) = \frac{5}{3} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 10,8 \end{array}) \Rightarrow H ∥ G_{a}$
  Der Wert des zugehörigen Parameters ist $a = 5,5$ .
  Anmerkung: Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander, da $39,96 \cdot \frac{5}{3} = 66,6 \neq 144$ ist.
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  Wenn $H ∥ G_{a}$ , dann muss die $x_{1}$ -Komponente von $G_{a}$ gleich null sein $\Rightarrow a$
  Berechne $G_{a}$ und vergleiche ${\vec{n}}_{H}$ mit ${\vec{n}}_{G_{a}}$ .
4. Zeigen Sie, dass die Punkte $A (8 | 0 | 3,7)$ und $B (8 | 3,42 | 2,75)$ in der Ebene $G_{5,5}$ liegen.
  (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)
  Zeige, dass die Punkte $A (8 | 0 | 3,7)$ und $B (8 | 3,42 | 2,75)$ in der Ebene $G_{5,5}$ liegen
  Gegeben ist $G_{5,5} : 3 x_{2} + 10,8 x_{3} = 39,96$ .
  Setze die Koordinaten der Punkte in $G_{5,5}$ ein:
  $A$ eingesetzt: $3 \cdot 0 + 10,8 \cdot 3,7 = 39,96 ✓ \Rightarrow A \in G_{5,5}$ .
  $B$ eingesetzt: $3 \cdot 3,42 + 10,8 \cdot 2,75 = 10,26 + 29,7 = 39,96 ✓ \Rightarrow B \in G_{5,5}$ .
  Beide Punkte liegen in der Ebene $G_{5,5}$ .
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  Setze die Koordinaten der Punkte in $G_{5,5}$ ein.
5. Für die folgenden Teilaufgaben gilt: $D (2 | 0 | 3,7)$ und $K (8 | 0 | 0)$ .
  Das Glasdach $A E F D$ ist festgelegt durch die Punkte $A$ , $E$ und $D$ . Aus statischen Gründen darf die Glasüberdachung nur um maximal $20 %$ der Länge von $A B$ über den Punkt $B$ hinausragen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $E$ , wenn die maximal zulässige Länge vollständig ausgenutzt wird.
  Hinweis: $| \vec{A E} | = 1,2 \cdot | \vec{A B} |$ (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
  Bestimme die Koordinaten des Punktes $E$
  Es gilt: $| \vec{A E} | = 1,2 \cdot | \vec{A B} |$
  $\vec{O E} = \vec{O A} + \vec{A E} = \vec{O A} + 1,2 \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 3,7 \end{array}) + 1,2 \cdot (\begin{array}{c} 8 - 8 \\ 3,42 - 0 \\ 2,75 - 3,7 \end{array}) = (\begin{array}{c} 8 \\ 4,104 \\ 2,56 \end{array})$
  $\Rightarrow E (8 | 4,104 | 2,56)$
  Die Koordinaten des Punktes $E$ sind $E (8 | 4,104 | 2,56)$ .
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  Berechne $\vec{O E} = \vec{O A} + \vec{A E} = \vec{O A} + 1,2 \cdot \vec{A B}$ .
6. Als Windschutz sollen die drei Seitenflächen $A K L B$ , $B L M C$ und $D N M C$ verglast werden. Der umbaute Raum besitzt die Form eines geraden trapezförmigen Prismas. Geben Sie die Koordinaten des Punktes $L$ an. Berechnen Sie die Materialkosten für die drei Seitenflächen, wenn der Preis $200 €$ pro $1 m^{2}$ beträgt. (6 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
  Gib die Koordinaten des Punktes $L$ an
  Der Punkt $L$ liegt senkrecht unterhalb vom Punkt $B$ in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene $\Rightarrow L (8 | 3,42 | 0)$ .
  Die Koordinaten des Punktes $L$ sind $L (8 | 3,42 | 0)$ .
  Berechne die Materialkosten für die drei Seitenflächen, wenn der Preis $200 €$ pro $1 m^{2}$ beträgt
  Nach Aufgabe e) gilt: $D (2 | 0 | 3,7)$ und $K (8 | 0 | 0)$ .
  Es gibt zwei trapezförmige Seitenflächen mit gleichem Flächeninhalt und eine rechteckige Seitenfläche.
  Trapez:
  $A_{Trapez} = A_{A K L B} = \frac{| \vec{A K} | + | \vec{B L} |}{2} \cdot | \vec{K L} |$
  Berechne die Beträge der verwendeten Vektoren:
  $\vec{A K} = \vec{O K} + \vec{O A} = (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 3,7 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 3,7 \end{array}) \Rightarrow | \vec{A K} | = 3,7$
  $\vec{B L} = \vec{O L} + \vec{O B} = (\begin{array}{c} 8 \\ 3,42 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ 3,42 \\ 2,75 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 2,75 \end{array}) \Rightarrow | \vec{B L} | = 2,75$
  $\vec{K L} = \vec{O L} + \vec{O K} = (\begin{array}{c} 8 \\ 3,42 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3,42 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{K L} | = 3,42$
  $\Rightarrow A_{A K L B} = \frac{3,7 + 2,75}{2} \cdot 3,42 \approx 11,03 = A_{D N M C}$
  Rechteck:
  $A_{□} = A_{B L M C} = | \vec{L M} | \cdot | \vec{B L} |$
  Berechne die Beträge der verwendeten Vektoren:
  $| \vec{L M} | = | \vec{A D} | = \vec{O D} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 3,7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 3,7 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{L M} | = 6$
  $| \vec{B L} | = \vec{O L} - \vec{O B} = (\begin{array}{c} 8 \\ 3,42 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ 3,42 \\ 2,75 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 2,75 \end{array}) \Rightarrow | \vec{B L} | = 2,75$
  $\Rightarrow A_{B L M C} = | \vec{L M} | \cdot | \vec{B L} | = 6 \cdot 2,75 = 16,5$
  $A_{g e s a m t} = 2 \cdot A_{Trapez} + A_{□} = 2 \cdot 11,03 + 16,5 = 38,56$
  Die drei Seitenflächen haben einen Gesamtflächeninhalt von $38,56 m^{2}$ .
  Die Kosten betragen dann: $K = 38,56 \cdot 200 = 7712$
  Die Materialkosten für die drei Seitenflächen, wenn der Preis $200 €$ pro $1 m^{2}$ beträgt, belaufen sich auf $7712 €$ .
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  Teil 1
  Der Punkt $L$ liegt senkrecht unterhalb vom Punkt $B$ in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene.
  Teil 2
  Es gibt zwei trapezförmige Seitenflächen mit gleichem Flächeninhalt und eine rechteckige Seitenfläche.
  Berechne den gesamten Flächeninhalt und multipliziere ihn mit $200$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie II

Ermittle jeweils eine Gleichung der Ebene H in Parameter- und Koordinatenform

Beschreibe deren besondere Lage im Koordinatensystem

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Zeige rechnerisch, dass die örtliche Bauvorschrift eingehalten wird

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Ermittle den Wert des zugehörigen Parameters a

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Zeige, dass die Punkte A(8|0|3,7) und B(8|3,42|2,75) in der Ebene G5,5 liegen

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Bestimme die Koordinaten des Punktes E

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Gib die Koordinaten des Punktes L an

Berechne die Materialkosten für die drei Seitenflächen, wenn der Preis 200€ pro 1 m2 beträgt

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Ermittle jeweils eine Gleichung der Ebene $H$ in Parameter- und Koordinatenform

Ermittle den Wert des zugehörigen Parameters $a$

Zeige, dass die Punkte $A (8 | 0 | 3,7)$ und $B (8 | 3,42 | 2,75)$ in der Ebene $G_{5,5}$ liegen

Bestimme die Koordinaten des Punktes $E$

Gib die Koordinaten des Punktes $L$ an

Berechne die Materialkosten für die drei Seitenflächen, wenn der Preis $200 €$ pro $1 m^{2}$ beträgt