Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung der Ebene $H$ in Parameter- und Koordinatenform und beschreiben Sie deren besondere Lage im Koordinatensystem.

[ mögliches Teilergebnis: $H: 5x_2+18x_3=144$ ]

Die Größe des Neigungswinkels des Daches $H$ gegen die Horizontale muss gemäß einer örtlichen Bauvorschrift mindestens $15°$ betragen. Zeigen Sie rechnerisch, dass die örtliche Bauvorschrift eingehalten wird.

Zur Überdachung der Terrasse $KLMN$, die in der $x_1-x_2$-Koordinatenebene liegt, wird ein rechteckiges Glasdach $AEFD$, dessen Neigungswinkel verstellbar ist, aufgebaut. Das Glasdach liegt in der Ebene $G_a:(-1{,}8a+9{,}9) x_1+(36-6a)x_2+10{,}8 x_3+14{,}4a=119{,}16$

mit dem Parameter $a\in \mathbb{R}$.

Die Ebenen $H$ und $G_a$ sollen parallel zueinander liegen. Ermitteln Sie hieraus den Wert des zugehörigen Parameters $a$.

[ Ergebnis: $a=5{,}5$ ]

Zeigen Sie, dass die Punkte $A(8|0|3{,}7$) und $B(8|3{,}42|2{,}75$) in der Ebene $G_{5{,}5}$liegen.

Für die folgenden Teilaufgaben gilt: $D(2|0|3{,}7)$ und $K(8|0|0)$.

Das Glasdach $AEFD$ ist festgelegt durch die Punkte $A$, $E$ und $D$. Aus statischen Gründen darf die Glasüberdachung nur um maximal $20$ %der Länge von $\overline{AB}$ über den Punkt $B$ hinausragen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $E$, wenn die maximal zulässige Länge vollständig ausgenutzt wird.

Hinweis: $\left| \overrightarrow{AE} \right|=1{,}2\cdot \left| \overrightarrow{AB} \right|$

Als Windschutz sollen die drei Seitenflächen $AKLB$, $BLMC$ und $DNMC$ verglast werden. Der umbaute Raum besitzt die Form eines geraden trapezförmigen Prismas. Geben Sie die Koordinaten des Punktes $L$ an. Berechnen Sie die Materialkosten für die drei Seitenflächen, wenn der Preis $200€$ pro $1m^2$ beträgt.