Prüfungsteil 2 2022

$100 \mathrm{~g}$ Teig haben ein Volumen von $81 \mathrm{~cm}^{3}$.

Berechne, wie viel Gramm ein Kubikzentimeter Teig wiegt. (2 P)

Ein Rösti soll $2 \mathrm{~cm}$ dick sein und ein Volumen von $81 \mathrm{~cm}^{3}$ haben.

Zeige, dass die zylindrische Form einen Durchmesser von ca. $7{,}2 \mathrm{~cm}$ haben muss. (3 P)

Das Unternehmen möchte zusätzlich Mini-Rösti herstellen. Ein Mini-Rösti soll auch $2 \mathrm{~cm}$ dick sein, aber nur das halbe Volumen haben. Ein Mitarbeiter behauptet: „Für ein Mini-Rösti brauchen wir eine Form mit halbem Durchmesser!“ Hat er recht?

Begründe deine Entscheidung. (3 P)

Bevor die Rösti verpackt werden, wird zuerst das Gewicht und dann das Aussehen kontrolliert.

Bei der Kontrolle des Gewichts erfüllen $98 \%$ der Rösti die Vorgabe. Die anderen Rösti werden direkt aussortiert. Bei der anschließenden Kontrolle des Aussehens erfüllen $99 \%$ die Vorgabe. Erneut werden die restlichen Rösti aussortiert.

Zeichne ein Baumdiagramm, das die beschriebene Situation darstellt. (2 P)

Bei einer Kontrolle werden insgesamt 447 Röstis aussortiert. Entweder entsprachen das Gewicht oder das Aussehen nicht der Vorgabe.

Berechne, wie viele Röstis vermutlich kontrolliert wurden. (4 P)

Zeige rechnerisch, dass diese Wassermelone ein Volumen von $V \approx 8200 \mathrm{~cm}^{3}$ hat. (3 P)

Die Schale der Wassermelone hat eine Dicke von 1,5 cm (Abbildung 1).

Berechne den prozentualen Anteil des Fruchtfleisches an der ganzen Wassermelone. (3 P)

Entscheide durch eine Rechnung, ob die kugelförmige oder die würfelförmige Wassermelone eine größere Oberfläche hat. (4 P)

Wassermelonen verdoppeln ihr Gewicht pro Woche unter idealen Wachstumsbedingungen. Sinja überlegt, wie sich das Gewicht einer $400 \mathrm{~g}$ schweren Wassermelone unter idealen Bedingungen voraussichtlich entwickelt. Sie erstellt dazu eine Tabelle. (2 P)

Berechne das Gewicht der Wassermelone nach 4 Wochen.

Bestätige durch eine Rechnung, dass der Punkt $A_{1}$ (3|1) auf der Parabel $f$ liegt. (2 P)

Begründe mit den Eigenschaften dieser Parabel, dass der Punkt $B_{1}(-3 \mid 1)$ ebenfalls auf dem Graphen von $f$ liegt. (3 P)

Die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$ liegen auf der $x$-Achse und bilden mit den Punkten $A_{1}$ und $B_{1}$ das Rechteck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$.

Berechne den Umfang dieses Rechtecks. (2 P)

Ausgehend von anderen Punkten auf der Parabel $f$ kann man auf die gleiche Art weitere Rechtecke zeichnen.

(1) Zeichne den Punkt $A_{2}(1 \mid 5)$ in Abbildung 1 ein. (1 P)

(2) Ergänze die drei weiteren Punkte $B_{2}, C_{2}$ und $D_{2}$ und verbinde die vier Punkte zu dem Rechteck $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$. (2 P)

Julia stellt den Term (I) auf, mit dem man den Umfang für jedes dieser Rechtecke berechnen kann. Dazu nutzt sie die bekannte Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks und erhält:

$\text { (I) } 2 \cdot 2 x+2 \cdot\left(-0{,}5 x^{2}+5{,}5\right) \text {. }$

Dabei ist $x>0$ und steht für die $x$-Koordinate des zum Rechteck gehörenden Punktes $A_{1}, A_{2}$ usw.

Begründe, dass mit dem Term (I) der Umfang jedes dieser Rechtecke berechnet werden kann. (2 P)

Julia vereinfacht den Term (I) zu (II) $-x^{2}+4 x+11$

Zeige durch Termumformungen, dass die beiden Terme (I) und (II) gleichwertig sind. (3 P)

Julia stellt die folgende Gleichung auf:

$-x^{2}+4 x+11=14{,}75$

(1) Löse die Gleichung. (3 P)

(2) Erkläre das Ergebnis in Bezug auf die Rechtecke unter der Parabel $f$. (1 P)

Der Term (II) kann auch als Funktion $u$ mit $u(x)=-x^{2}+4 x+11$ interpretiert werden.

(1) Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $u$ (2 P) und

(2) erkläre seine Bedeutung für die Umfangsbetrachtung. (2 P)