Bestätige durch eine Rechnung, dass der Punkt $A_{1}$ (3|1) auf der Parabel $f$ liegt. (2 P)

Begründe mit den Eigenschaften dieser Parabel, dass der Punkt $B_{1}(-3 \mid 1)$ ebenfalls auf dem Graphen von $f$ liegt. (3 P)

Die Punkte $C_{1}$ und $D_{1}$ liegen auf der $x$-Achse und bilden mit den Punkten $A_{1}$ und $B_{1}$ das Rechteck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$.

Berechne den Umfang dieses Rechtecks. (2 P)

Ausgehend von anderen Punkten auf der Parabel $f$ kann man auf die gleiche Art weitere Rechtecke zeichnen.

(1) Zeichne den Punkt $A_{2}(1 \mid 5)$ in Abbildung 1 ein. (1 P)

(2) Ergänze die drei weiteren Punkte $B_{2}, C_{2}$ und $D_{2}$ und verbinde die vier Punkte zu dem Rechteck $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$. (2 P)

Julia stellt den Term (I) auf, mit dem man den Umfang für jedes dieser Rechtecke berechnen kann. Dazu nutzt sie die bekannte Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks und erhält:

$\text { (I) } 2 \cdot 2 x+2 \cdot\left(-0{,}5 x^{2}+5{,}5\right) \text {. }$

Dabei ist $x>0$ und steht für die $x$-Koordinate des zum Rechteck gehörenden Punktes $A_{1}, A_{2}$ usw.

Begründe, dass mit dem Term (I) der Umfang jedes dieser Rechtecke berechnet werden kann. (2 P)

Julia vereinfacht den Term (I) zu (II) $-x^{2}+4 x+11$

Zeige durch Termumformungen, dass die beiden Terme (I) und (II) gleichwertig sind. (3 P)

Julia stellt die folgende Gleichung auf:

$-x^{2}+4 x+11=14{,}75$

(1) Löse die Gleichung. (3 P)

(2) Erkläre das Ergebnis in Bezug auf die Rechtecke unter der Parabel $f$. (1 P)

Der Term (II) kann auch als Funktion $u$ mit $u(x)=-x^{2}+4 x+11$ interpretiert werden.

(1) Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $u$ (2 P) und

(2) erkläre seine Bedeutung für die Umfangsbetrachtung. (2 P)