Gegeben sind $n=200$ und $p=0{,}98$.

Nur runde Bälle sind in der Stichprobe enthalten

Gesucht ist $P(X=200)=\text{binompdf}(200;0{,}98;200)\approx0{,}01758$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Stichprobe nur runde Bälle enthält, beträgt rund $1{,}8\;\%$.

Die Stichprobe mindestens $190$ runde Bälle enthält

Gesucht $P(X\geq 190)=\text{binomcdf}(200{,}0.98{,}190{,}200)\approx0{,}997$5

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Stichprobe mindestens $190$ runde Bälle enthält, beträgt rund $99{,}8\;\%$.

Die Stichprobe genau einen oder genau zwei unrunde Bälle enthält

Ist genau $1$ Ball nicht rund, dann sind $199$ Bälle rund.

Sind genau $2$ Bälle nicht rund, dann sind $198$ Bälle rund.

Gesucht ist also $P(198\leq X\leq 199)=\text{binomcdf}(200{,}0.98{,}198{,}199)\approx0{,}2176$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Stichprobe genau einen oder genau zwei unrunde Bälle enthält, beträgt rund $21{,}8 \;\%$.

Baumdiagramm anlegen

Es werden die Ereignisse festgelegt:

$R$: der Ball ist rund

$A$: der Ball wird aussortiert

Nach Aufgabe a) gilt:

• $98\;\%$ der hergestellten Bälle sind rund.

• $100\;\%-98\;\%=2\;\%$ der hergestellten Bälle sind dann nicht rund.

Aus dem Aufgabentext b) folgt:

• Ein unrunder Ball wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $90 \%$ aussortiert.

• Allerdings werden auch $5 \%$ der runden Bälle aussortiert.

Übertrage die Werte in ein Baumdiagramm:

Bedeutung des Terms $0{,}98 \cdot 0{,}05 \cdot 2000$ im Sachzusammenhang

Es ist $n=2000$ und $0{,}98\cdot 0{,}05=P(R\cap A)$ (siehe Baumdiagramm).

Dann ist $\mu=n\cdot p=2000\cdot 0{,}98\cdot 0{,}05=98$ der Erwartungswert, dass von $2000$ hergestellten Bällen diese Anzahl ($98$) von runden Bällen aussortiert werden.

Nachweis der Wahrscheinlichkeit: $0{,}02 \cdot 0{,}1^{2}$

Ein Ball ist mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}02$ unrund und wird beim

zweimaligen Durchlaufen der Anlage mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1\cdot 0{,}1=0{,}1^2$ nicht aussortiert. Mit den Pfadregeln ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit $0{,}02 \cdot 0{,}1^2$.

Anteil der unrunden Bälle unter denjenigen, die dann nach zweimaligem Durchlaufen der Anlage nicht aussortiert würden

Ein Ball ist mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}98$ rund und wird beim

zweimaligen Durchlaufen der Anlage mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}95\cdot 0{,}95=0{,}95^2$ nicht aussortiert. Mit den Pfadregeln ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit $0{,}98 \cdot 0{,}95^2$.

Insgesamt gilt $P(\overline{A})=0{,}98 \cdot 0{,}95^2+0{,}02 \cdot 0{,}1^2$.

Dann ergibt sich der gesuchte Anteil zu:

Der Anteil der unrunden Bälle unter denjenigen, die nach zweimaligem Durchlaufen der Anlage nicht aussortiert würden, beträgt rund $0{,}023\;\%$.

Warum ist es nicht möglich, das arithmetische Mittel der Gewichte zu berechnen

In der ersten und letzten Zeile der Tabelle sind Messdaten zusammengefasst. Für das arithmetische Mittel aller Gewichte muss jedes einzelne Gewicht bekannt sein und wie oft es vorkommt.

Das größte Gewicht an, das ein zufällig ausgewählter Ball mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $20\;\%$ unterschreitet

Die relativen Häufigkeiten aus der Tabelle werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten verwendet.

In der Tabelle gibt es zwei Wahrscheinlichkeiten, die über $20\;\%$ liegen. Die nächste unter $20\;\%$ liegende Wahrscheinlichkeit ist $10\;\%$.

Dazu gehört das Gewicht $2{,}69\;\text{g}$.

Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von $24$ zufällig ausgewählten Bällen höchstens einer ein Gewicht aufweist, das kleiner als $2{,}67$ g oder größer als $2{,}77$ g ist

Die Variable $Y$ ist die Zahl der Bälle, die ein Gewicht aufweisen, das kleiner als $2{,}67\;\text{g}$ oder größer als $2{,}77\;\text{g}$ ist.

$Y$ ist binomialverteilt mit $n=24$ und $p=0{,}05+0{,}03=0{,}08$.

Gesucht ist $P(Y\leq 1)$:

$P(Y\leq 1)=\text{binomcdf}(24{,}0.08{,}0,1)\approx0{,}4173$

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von $24$ zufällig ausgewählten Bällen höchstens einer ein Gewicht aufweist, das kleiner als $2{,}67$ g oder größer als $2{,}77$ g ist, beträgt rund $41{,}7\;\%$.