Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I

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1
Ein Holzklotz in Form eines Spats $A B C D E F G H$ mit quadratischer Grundfläche soll bearbeitet werden. Er ist in einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ modellhaft so dargestellt, dass die Seiten $D A$ sowie $D C$ auf der $x_{1}$ - bzw. $x_{2}$ -Achse liegen und $D$ im Koordinatenursprung liegt. Die Seite $A E$ wird halbiert vom Punkt $P (5 | 1 | 3)$ . Der Diagonalenschnittpunkt der Grundfläche $A B C D$ ist $Q (2 | 2 | 0)$ . Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Dezimeter. Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden.
1. Lesen Sie die Koordinaten der Punkte $A, B$ und $C$ aus der Zeichnung ab. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $E .$ [4 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkte im Koordinatensystem
  Lies die Koordinaten der Punkte $A, B$ und $C$ aus der Zeichnung ab
  $A (4 | 0 | 0); B (4 | 4 | 0)$ und $C (0 | 4 | 0)$ .
  Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Punktes $E$
  Bekannt: Die Seite $A E$ wird halbiert vom Punkt $P (5 | 1 | 3)$ .
  $\vec{O E} = \vec{O A} + 2 \cdot \vec{A P} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 5 - 4 \\ 1 - 0 \\ 3 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 6 \end{array}) \Rightarrow E (6 | 2 | 6)$
  Die Koordinaten des Punktes $E$ sind $E (6 | 2 | 6)$ .
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  Teil 1
  Lies die Koordinaten der Punkte $A, B$ und $C$ aus der Zeichnung ab.
  Teil 2
  Die Seite $A E$ wird halbiert vom Punkt $P (5 | 1 | 3)$ . Berechne $\vec{O E} = \vec{O A} + 2 \cdot \vec{A P}$ .
2. Die Punkte $P, Q$ und $F (6 | 6 | 6)$ legen die Ebene $K$ fest. Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung von $K$ in Parameter- und Koordinatenform.
  [ Mögliches Ergebnis: $K : 9 x_{1} + 3 x_{2} - 8 x_{3} - 24 = 0$ ] [6 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln
  Die Punkte $P, Q$ und $F (6 | 6 | 6)$ legen die Ebene $K$ fest. Ermittle jeweils eine Gleichung von $K$ in Parameter- und Koordinatenform
  Gegeben: $P (5 | 1 | 3), Q (2 | 2 | 0)$ und $F (6 | 6 | 6)$ .
  Parameterform:
  $K_{P Q F} : \vec{x} = \vec{O P} + r \cdot \vec{P Q} + s \cdot \vec{P F} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 - 5 \\ 2 - 1 \\ 0 - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 6 - 5 \\ 6 - 1 \\ 6 - 3 \end{array})$
  $K_{P Q F} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 3 \end{array})$
  Koordinatenform:
  Berechne ${\vec{n}}_{K} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 18 \\ 6 \\ - 16 \end{array}) \overset{\overset{}{mit 2 gekürzt}}{\to} {\vec{n}}_{K} = (\begin{array}{c} 9 \\ 3 \\ - 8 \end{array})$
  $K : 9 x_{1} + 3 x_{2} - 8 x_{3} = d$
  Setze $P (5 | 1 | 3)$ in $K$ ein:
  $9 \cdot 5 + 3 \cdot 1 - 8 \cdot 3 = d \Rightarrow d = 24$
  $K : 9 x_{1} + 3 x_{2} - 8 x_{3} - 24 = 0 ✓$
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  Teil 1
  Berechne $K_{P Q F} : \vec{x} = \vec{O P} + r \cdot \vec{P Q} + s \cdot \vec{P F}$
  Teil 2
  Berechne ${\vec{n}}_{K} = \vec{P Q} \times \vec{P F}$
  Mache den Ansatz $K : n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} = d$
  Setze $P$ in $K$ ein, um $d$ zu bestimmen.
3. Berechnen Sie den Winkel, unter dem die Gerade $D F$ auf die Ebene $K$ trifft. [4 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel von Geraden und Ebenen
  Berechne den Winkel, unter dem die Gerade $D F$ auf die Ebene $K$ trifft
  Berechne zunächst die Gleichung der Geraden $g$ durch die Punkte $D (0 | 0 | 0)$ und $F (6 | 6 | 6)$ .
  $g_{D F} : \vec{x} = \vec{O D} + r \cdot \vec{D F} = r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 6 \\ 6 \end{array})$
  Weiterhin ist $n_{K} = (\begin{array}{c} 9 \\ 3 \\ - 8 \end{array})$ und ${\vec{u}}_{g} = (\begin{array}{c} 6 \\ 6 \\ 6 \end{array})$ .
  $\sin φ = \frac{| \vec{n_{K}} \circ \vec{u_{g}} |}{| \vec{n_{K}} | \cdot | \vec{u_{g}} |} = \frac{| (\begin{array}{c} 9 \\ 3 \\ - 8 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 6 \\ 6 \\ 6 \end{array}) |}{\sqrt{9^{2} + 3^{2} + (- 8)^{2}} \cdot \sqrt{6^{2} + 6^{2} + 6^{2}}} = \frac{| 54 + 18 - 48 |}{\sqrt{154} \cdot \sqrt{108}} = \frac{24}{\sqrt{154} \cdot \sqrt{108}}$
  $φ = \sin^{- 1} (\frac{24}{\sqrt{154} \cdot \sqrt{108}}) \approx 10,73 °$
  Der Winkel, unter dem die Gerade $D F$ auf die Ebene $K$ trifft, beträgt rund $10,73 °$ .
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  Berechne die Gleichung der Geraden $g$ durch die Punkte $D (0 | 0 | 0)$ und $F (6 | 6 | 6)$ $\Rightarrow {\vec{u}}_{g}$ .
  Berechne $\sin φ = \frac{| \vec{n_{K}} \circ \vec{u_{g}} |}{| \vec{n_{K}} | \cdot | \vec{u_{g}} |}$ $\Rightarrow φ$ .
4. Der Holzklotz wird entlang der Ebene $K$ durchtrennt und der vordere Teil weggenommen. Dadurch ergibt sich in der Grundfläche $A B C D$ eine Schnittkante, die die Kante $D A$ im Punkt $R$ sowie die Kante $C B$ im Punkt $S$ schneidet. Die Schnittfläche wird durch die Punkte $P, R, S$ und $F$ begrenzt (siehe Skizze).
  Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $R$ und $S$ . [5 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
  Berechne die Koordinaten der Punkte $R$ und $S$
  Punkt $R$
  Der Punkt $R$ liegt auf der $x_{1}$ -Achse, d.h. $x_{2} = x_{3} = 0 \Rightarrow R (x_{1} | 0 | 0)$ .
  Setze $R$ in $K$ ein:
  $9 \cdot x_{1} + 3 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 24 = 0 \Rightarrow x_{1} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} \Rightarrow R (\frac{8}{3} | 0 | 0)$ .
  Punkt $S$
  Erstelle die Gleichung der Geraden $g_{C B}$ durch die Punkte $C (0 | 4 | 0)$ und $B (4 | 4 | 0)$ .
  $g_{C B} : \vec{x} = \vec{O C} + r \cdot \vec{C B} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
  Schneide $g_{C B}$ mit $K \Rightarrow S$ .
  $9 \cdot (4 r) + 3 \cdot 4 - 8 \cdot 0 - 24 = 0 \Rightarrow 36 r + 12 - 24 = 0 \Rightarrow r = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$
  Setze $r = \frac{1}{3}$ in $g_{C B}$ ein:
  $\vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 4 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow S (\frac{4}{3} | 4 | 0)$
  Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Spat $A B C D E F G H$ mit Ebene $K$
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  Teil 1
  Der Punkt $R$ liegt auf der $x_{1}$ -Achse. Setze $R$ in $K$ ein.
  Teil 2
  Erstelle die Gleichung der Geraden $g_{C B}$ durch die Punkte $C (0 | 4 | 0)$ , $B (4 | 4 | 0)$ .
  Schneide $g_{C B}$ mit $K \Rightarrow S$ .
5. Erläutern Sie, wie Sie den Inhalt der Fläche $P R S F$ berechnen können, ohne diese Rechnung konkret durchzuführen. [4 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatensystem
  Erläutere, wie Du den Inhalt der Fläche $P R S F$ berechnen kannst, ohne diese Rechnung konkret durchzuführen
  Die Fläche $P R S F$ kann in zwei Dreiecke aufgeteilt werden.
  Z.B. das Dreieck $P R S$ und das Dreieck $P S F$ .
  Skizze:
  Viereck $P R S F$
  Die Flächenmaße berechnest Du dann mit $A_{P R S} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{P R} \times \vec{P S} |$ und $A_{P S F} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{P S} \times \vec{P F} |$ .
  Der Flächeninhalt des Vierecks ist dann die Summe der beiden Dreiecksflächen.
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  Die Fläche $P R S F$ kann in zwei Dreiecke aufgeteilt werden.
  Die Flächenmaße berechnest Du dann mithilfe des Kreuzproduktes.
  Addiere beide Dreiecksflächen.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lies die Koordinaten der Punkte A,B und C aus der Zeichnung ab

Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Punktes E

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Die Punkte P,Q und F(6|6|6) legen die Ebene K fest. Ermittle jeweils eine Gleichung von K in Parameter- und Koordinatenform

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Berechne den Winkel, unter dem die Gerade DF auf die Ebene K trifft

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Berechne die Koordinaten der Punkte R und S

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Erläutere, wie Du den Inhalt der Fläche PRSF berechnen kannst, ohne diese Rechnung konkret durchzuführen

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Lies die Koordinaten der Punkte $A, B$ und $C$ aus der Zeichnung ab

Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Punktes $E$

Die Punkte $P, Q$ und $F (6 | 6 | 6)$ legen die Ebene $K$ fest. Ermittle jeweils eine Gleichung von $K$ in Parameter- und Koordinatenform

Berechne den Winkel, unter dem die Gerade $D F$ auf die Ebene $K$ trifft

Berechne die Koordinaten der Punkte $R$ und $S$

Erläutere, wie Du den Inhalt der Fläche $P R S F$ berechnen kannst, ohne diese Rechnung konkret durchzuführen