Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie II

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1
Eine Skulptur aus Leichtmetall in einer Kunsthalle hat die Form eines nicht symmetrischen Trapezes $A B C D$ , aus dem ein Dreieck $E F G$ ausgeschnitten wurde. Das Trapez wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ betrachtet. Der Hallenboden liegt in der $x_{1} - x_{2}$ -Koordinatenebene und der Punkt $O$ im Koordinatenursprung. Die Punkte $A (7 | 7 | 2)$ , $B (3 | 10 | 2)$ , $C (1 | 4 | 5)$ und $D (3 | 2,5 | 5)$ bilden die Eckpunkte des Trapezes. Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Dezimeter. Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden.
1. Die Punkte $A, B$ und $C$ legen die Ebene $K$ fest. Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung von $K$ in Parameter- und Koordinatenform.
  [ Mögliches Teilergebnis: $K : 3 x_{1} + 4 x_{2} + 10 x_{3} = 69$ ] [6 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln
  Ermittle jeweils eine Gleichung von $K$ in Parameter- und Koordinatenform
  Gegeben: Die Punkte $A (7 | 7 | 2)$ , $B (3 | 10 | 2)$ , $C (1 | 4 | 5)$ .
  Parameterform:
  $K_{A B C} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A C} = (\begin{array}{c} 7 \\ 7 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 - 7 \\ 10 - 7 \\ 2 - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 - 7 \\ 4 - 7 \\ 5 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 7 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 3 \end{array})$
  $K_{A B C} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 7 \\ 7 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 3 \end{array})$
  Koordinatenform:
  Berechne ${\vec{n}}_{K} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 12 \\ 30 \end{array}) \overset{\overset{}{mit 3 gekürzt}}{\to} {\vec{n}}_{K} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 10 \end{array})$
  $K : 3 x_{1} + 4 x_{2} + 10 x_{3} = d$
  Setze $A (7 | 7 | 2)$ in $K$ ein:
  $3 \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 10 \cdot 2 = d \Rightarrow d = 69$
  $K : 3 x_{1} + 4 x_{2} + 10 x_{3} = 69 ✓$
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  Teil 1
  Berechne $K_{A B C} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A C}$
  Teil 2
  Berechne ${\vec{n}}_{K} = \vec{A B} \times \vec{A C}$
  Mache den Ansatz $K : n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} = d$
  Setze $A$ in $K$ ein, um $d$ zu bestimmen.
2. Berechnen Sie den Neigungswinkel der Trapezfläche $A B C D$ gegenüber dem Hallenboden. Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie
  Berechne den Neigungswinkel der Trapezfläche $A B C D$ gegenüber dem Hallenboden
  $\cos φ = \frac{| \vec{n_{K}} \circ \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}{| \vec{n_{K}} | \cdot | \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |} = \frac{| (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 10 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) |}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 10^{2}} \cdot 1} = \frac{10}{\sqrt{125}}$
  $φ = \cos^{- 1} (\frac{10}{\sqrt{125}}) \approx 26,57 °$
  Der Neigungswinkel der Ebene $K$ zum Hallenboden beträgt rund $26,57 °$ .
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  Berechne $\cos φ = \frac{| \vec{n_{K}} \circ \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}{| \vec{n_{K}} | \cdot | \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}$ .
3. Erläutern Sie, wie Sie den Inhalt der Trapezfläche $A B C D$ berechnen können, ohne diese Rechnung konkret durchzuführen. Hinweis: Die ausgeschnittene Dreiecksfläche $E F G$ ist bei der Erläuterung nicht zu berücksichtigen. [4 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatensystem
  Erläutere, wie Du den Inhalt der Trapezfläche $A B C D$ berechnen kannst, ohne diese Rechnung konkret durchzuführen
  Teile das Trapez in zwei Dreiecke.
  $A_{Trapez} = △_{A C D} + △_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A C} \times \vec{A D} | + \frac{1}{2} \cdot | \vec{A B} \times \vec{A C} |$
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  Teile das Trapez in zwei Dreiecke.
  $A_{Trapez} = △_{A C D} + △_{A B C}$
4. Der Punkt $E$ ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen $A C$ und $B D$ (siehe Skizze). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $E$ .
  [Mögliches Ergebnis: $E (3 | 5 | 4)$ ] [5 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
  Bestimme die Koordinaten des Punktes $E$
  Der Punkt $E$ ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen $A C$ und $B D$ . Bestimme die beiden Geradengleichungen.
  Gegeben: die Punkte $A (7 | 7 | 2)$ , $B (3 | 10 | 2)$ , $C (1 | 4 | 5)$ und $D (3 | 2,5 | 5)$ .
  $g_{A C} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A C} = (\begin{array}{c} 7 \\ 7 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 - 7 \\ 4 - 7 \\ 5 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 7 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 3 \end{array})$
  $g_{B D} : \vec{x} = \vec{O B} + r \cdot \vec{B D} = (\begin{array}{c} 3 \\ 10 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 - 3 \\ 2,5 - 10 \\ 5 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 10 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 7,5 \\ 3 \end{array})$
  $g_{A C} = g_{B D}$
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} 7 \\ 7 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 10 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 7,5 \\ 3 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 7 - 3 \\ 7 - 10 \\ 2 - 2 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 7,5 \\ 3 \end{array})$
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 7,5 \\ 3 \end{array})$
  Aus Gleichung $(I)$ folgt: $4 = 6 r \Rightarrow r = \frac{2}{3}$
  Aus Gleichung $(I I I)$ folgt: $0 = - 3 r + 3 s \Rightarrow s = r$
  Prüfe Gleichung $(I I)$ : $- 3 = \frac{2}{3} \cdot 3 + \frac{2}{3} \cdot (- 7,5) \Rightarrow - 3 = 2 - 5 = - 3 ✓$
  Setze $r = \frac{2}{3}$ in $g_{A C}$ ein:
  ${\vec{x}}_{E} = (\begin{array}{c} 7 \\ 7 \\ 2 \end{array}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 - 4 \\ 7 - 2 \\ 2 + 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 4 \end{array}) \Rightarrow E (3 | 5 | 4) ✓$
  Die Koordinaten des Punktes $E$ sind $E (3 | 5 | 4)$ .
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  Der Punkt $E$ ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen $A C$ und $B D$ . Bestimme die beiden Geradengleichungen und setze $g_{A C} = g_{B D} \Rightarrow E$ .
5. Für den Punkt $F$ des Dreiecks $E F G$ gilt: $F (4,4 | 5,2 | 3,5)$ . Berechnen Sie die Maßzahl der Länge der Dreiecksseite $E F$ und die Koordinaten des Punktes $G$ , wenn die Dreiecksseite $F G$ parallel zu $A B$ ist und $| E F | = | F G |$ gilt. [5 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  Berechne die Maßzahl der Länge der Dreiecksseite $E F$
  Gegeben: $E (3 | 5 | 4)$ und $F (4,4 | 5,2 | 3,5)$ .
  $\vec{E F} = (\begin{array}{c} 4,4 - 3 \\ 5,2 - 5 \\ 3,5 - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1,4 \\ 0,2 \\ - 0,5 \end{array}) \Rightarrow | \vec{E F} | = \sqrt{{1,4}^{2} + {0,2}^{2} + (- 0,5)^{2}} = \sqrt{2,25} = 1,5$
  Die Maßzahl der Länge der Dreiecksseite $E F$ ist $1,5 dm$ .
  Berechne die Koordinaten des Punktes $G$ , wenn die Dreiecksseite $F G$ parallel zu $A B$ ist und $| E F | = | F G |$ gilt
  Es gilt: $F G ∥ A B$ und $| E F | = | F G |$ .
  $F G ∥ A B$ mit $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 - 7 \\ 10 - 7 \\ 2 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{A B} | = \sqrt{(- 4)^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5$
  Der Einheitsvektor des Vektors $\vec{A B}$ ist ${\vec{e}}_{A B} = \frac{1}{| \vec{A B} |} \cdot \vec{A B} = \frac{1}{5} \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 0,8 \\ 0,6 \\ 0 \end{array})$ .
  Dann gilt für den Vektor
  $\vec{O G} = \vec{O F} + | \vec{E F} | \cdot {\vec{e}}_{A B} = \vec{O F} + 1,5 \cdot {\vec{e}}_{A B} = (\begin{array}{c} 4,4 \\ 5,2 \\ 3,5 \end{array}) + 1,5 \cdot (\begin{array}{c} - 0,8 \\ 0,6 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4,4 - 1,2 \\ 5,2 + 0,9 \\ 3,5 \end{array})$ .
  $\Rightarrow \vec{O G} = (\begin{array}{c} 3,2 \\ 6,1 \\ 3,5 \end{array}) \Rightarrow G (3,2 | 6,1 | 3,5)$
  Die Koordinaten des Punktes $G$ sind $G (3,2 | 6,1 | 3,5)$ .
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  Teil 1
  Berechne $\vec{E F}$ und $| \vec{E F} |$ .
  Teil 2
  Berechne $\vec{A B}$ und $| \vec{A B} |$ .
  Berechne ${\vec{e}}_{A B} = \frac{1}{| \vec{A B} |} \cdot \vec{A B}$ .
  Dann gilt $\vec{O G} = \vec{O F} + | \vec{E F} | \cdot {\vec{e}}_{A B}$

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Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie II

Ermittle jeweils eine Gleichung von K in Parameter- und Koordinatenform

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Berechne den Neigungswinkel der Trapezfläche ABCD gegenüber dem Hallenboden

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Erläutere, wie Du den Inhalt der Trapezfläche ABCD berechnen kannst, ohne diese Rechnung konkret durchzuführen

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Bestimme die Koordinaten des Punktes E

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Berechne die Maßzahl der Länge der Dreiecksseite EF

Berechne die Koordinaten des Punktes G, wenn die Dreiecksseite FG parallel zu AB ist und |EF|=|FG| gilt

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Ermittle jeweils eine Gleichung von $K$ in Parameter- und Koordinatenform

Berechne den Neigungswinkel der Trapezfläche $A B C D$ gegenüber dem Hallenboden

Erläutere, wie Du den Inhalt der Trapezfläche $A B C D$ berechnen kannst, ohne diese Rechnung konkret durchzuführen

Bestimme die Koordinaten des Punktes $E$

Berechne die Maßzahl der Länge der Dreiecksseite $E F$

Berechne die Koordinaten des Punktes $G$ , wenn die Dreiecksseite $F G$ parallel zu $A B$ ist und $| E F | = | F G |$ gilt