Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie II

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Eine Skulptur aus Leichtmetall in einer Kunsthalle hat die Form eines nicht symmetrischen Trapezes $A B C D$ , aus dem ein Dreieck $E F G$ ausgeschnitten wurde. Das Trapez wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ betrachtet. Der Hallenboden liegt in der $x_{1} - x_{2}$ -Koordinatenebene und der Punkt $O$ im Koordinatenursprung. Die Punkte $A (7 | 7 | 2)$ , $B (3 | 10 | 2)$ , $C (1 | 4 | 5)$ und $D (3 | 2,5 | 5)$ bilden die Eckpunkte des Trapezes. Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Dezimeter. Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden.
1. Die Punkte $A, B$ und $C$ legen die Ebene $K$ fest. Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung von $K$ in Parameter- und Koordinatenform.
  [ Mögliches Teilergebnis: $K : 3 x_{1} + 4 x_{2} + 10 x_{3} = 69$ ]
2. Berechnen Sie den Neigungswinkel der Trapezfläche $A B C D$ gegenüber dem Hallenboden. Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
3. Erläutern Sie, wie Sie den Inhalt der Trapezfläche $A B C D$ berechnen können, ohne diese Rechnung konkret durchzuführen. Hinweis: Die ausgeschnittene Dreiecksfläche $E F G$ ist bei der Erläuterung nicht zu berücksichtigen.
4. Der Punkt $E$ ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen $A C$ und $B D$ (siehe Skizze). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $E$ .
  [Mögliches Ergebnis: $E (3 | 5 | 4)$ ]
5. Für den Punkt $F$ des Dreiecks $E F G$ gilt: $F (4,4 | 5,2 | 3,5)$ . Berechnen Sie die Maßzahl der Länge der Dreiecksseite $E F$ und die Koordinaten des Punktes $G$ , wenn die Dreiecksseite $F G$ parallel zu $A B$ ist und $| E F | = | F G |$ gilt.

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