Heft 2 - B1

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Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
André untersucht mithilfe einer Geometriesoftware Punkte auf einem Halbkreis mit dem Radius $5 \mathrm{~cm}$ um den Mittelpunkt $M$ . Die Punkte $A, B$ und $C$ lassen sich auf der Kreislinie verschieben.
André untersucht die Abstände der Punkte $A, B$ und $C$ zueinander.
1. Berechne den Abstand der Punkte $C$ und $B$ in Zentimetern für $\alpha=75^{\circ}$ . (3 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
  Kosinussatz: $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\gamma\right)$
  $a=b=5\cm$
  $\gamma=90°-\alpha=90°-75°=15°$
  Einsetzen:
  $\overline{BC}^2=5^2+5^2-2\cdot 5\cdot5\cdot \cos(15°)$
  $\overline{BC}^2=50-50\cdot \cos(15°)=50-50\cdot 0{,}9659=1{,}705$
  $\overline{BC}\approx 1{,}3$
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  Verwende die Formel des Kosinussatzes für das allgemeine Dreieck.
2. Der Abstand $a$ der Punkte $A$ und $C$ zueinander ist $a=\sqrt{2} \cdot 5 \mathrm{~cm}$ .
  Zeige, dass das stimmt. (2 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
  Kosinussatz: $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\alpha\right)$
  $a=b=5\cm$
  $\alpha=90°$
  Einsetzen:
  $|\overline{AC}|^2=5^2+5^2-2\cdot 5\cdot5\cdot \cos(90°)$
  $|\overline{AC}|^2=50-50\cdot \cos(90°)=50$
  $|\overline{AC}|=\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 25}=\sqrt{2}\cdot 5$
  Der Abstand $a$ beträgt $\sqrt{2}\cdot 5\cm$ .
  Alternative:
  Das Dreieck $ACM$ ist bei $M$ rechtwinklig.
  Daher gilt mit dem Satz des Pythagoras
  $|AC|^2=|AM|^2+|CM|^2=5^2+5^2=50$
  $|AC|=\sqrt{50}=2\sqrt{5}$
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  Verwende den Kosinussatz für das allgemeine Dreieck.
3. André verschiebt den Punkt $B$ so, dass $A$ und $B$ den Abstand $5 \mathrm{~cm}$ voneinander haben.
  Gib die Größe des Winkels $\alpha$ an. (1 Punkt)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
  Kosinussatz: $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\alpha\right)$
  $|\overline{AB}|=c=5\cm$
  $a=b=5\cm$
  Einsetzen:
  $5^2=50-50\cdot \cos(\alpha)$
  $0{,}5=\cos(\alpha)$
  $\alpha=60°$
  Die Größe des Winkels $\alpha$ beträgt 60°.
  Alternative:
  Das Dreieck $ABM$ ist gleichseitig, da alle Seitenlängen $5\cm$ betragen. Daher sind alle Innenwinkel $60^\circ$ .
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  Verwende den Kosinussatz für das allgemeine Dreieck.
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Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
André verschiebt den Punkt $B$ so, dass der Punkt $E$ den Durchmesser des Halbkreises im Verhältnis 8:2 teilt.
1. André nutzt den Höhensatz zur Berechnung des Abstands der Punkte $B$ und $E$ .
  Berechne den Abstand der Punkte $B$ und $E$ mithilfe des Höhensatzes. (2 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Höhen- und Kathetensatz
  Höhenstatz: $h^2=p\cdot q$
  $p=2\cm, q=8\cm$
  $|\overline BE|=\sqrt{p\cdot q}$
  $|\overline BE|=\sqrt{2\cdot 8}=4$
  Der Abstand der Punkte $B$ und $E$ zueinander beträgt $4\cm$ .
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  Bestimme zuerst die Längen der Strecken $\overline{AE}$ und $\overline{DE}$ .
  Verwende dann den Höhensatz mit diesen Längen.
2. Mila rechnet lieber mit dem Satz des Pythagoras.
  Zeichne das Dreieck ein, mit dem Mila den Abstand der Punkte $B$ und $E$ berechnen kann. (1 Punkt)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  Verbinde die Punkte M, B und E miteinander. Du erhälst ein rechtwinkliges Dreieck. Für die Berechnung des Abstands der Punkte $B$ und $E$ kannst du den Satz des Pythagoras verwenden:
  Das Dreieck $MEB$ ist bei $M$ rechtwinklig.
  Da $|DE|=8\cm$ und $|DM|=5\cm$ ist, ist $|ME|=3\cm$ .
  Der Radius $|MB|$ ist $5\cm$ .
  Daher ist $|BE|^2=5^2-3^2=25-9=16$
  und $|BE|=4\cm$ .
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  Verbinde die Punkte M, E und B miteinander zu einem rechtwinkligen Dreieck.
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Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
André will die Punkte so auf der Kreislinie verschieben, dass sowohl der Punkt $A$ als auch der Punkt $C$ vom Punkt $B$ den Abstand $5 \mathrm{~cm}$ hat.
Zeichne den Sachverhalt in der Abbildung. (2 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreise und Kreisteile
Einzeichnen der Punkte $\mathrm{A,\ B,\ C}\$ :
Die Punkte $\text{A, B}$ und $\text{C}$ liegen auf dem Halbkreis.
Für die Winkel $\alpha\$ und $\beta$ gilt: $\qquad\alpha=\beta=60°$
Da der Kreis einen Durchmesser von $10\cm$ hat, entsprechen $5\cm$ gerade dem Radius. Verschiebe die Punkte so, dass sie einen Radius Abstand zueinander haben.
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Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
André untersucht, wie sich der Winkel $\beta$ ändert, wenn sich der Abstand zwischen den Punkten $B$ und $C$ verändert.
André sagt: "Zur Untersuchung kann ich die Gleichung $\sin (\beta)=\dfrac{0{,}5 y}{5}$ nutzen."
1. Entscheide und begründe, ob André recht hat. (3 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  André hat mit seiner Aussage recht.
  Für seine Untersuchung verwendet er den Sinus:
  $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  Die Hypotenuse hat die Länge $5\,\text{cm}$ .
  Die Gegenkathete hat die Länge $\dfrac{1}{2} \cdot y$
  Durch Einsetzen der Werte untersucht André den Winkel $\beta$
  $\sin(\beta)=\dfrac{0{,}5y}{5}$
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2. André erhält bei seiner Untersuchung das Ergebnis $\sin (\beta)=1$ .
  Stelle die Bedeutung dieses Wertes für die Punkte $B$ und $C$ dar. (1 Punkt)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  Aus einer Wertetabelle kann André ablesen, dass bei einem Winkel von $\beta = 90^\circ$ der Sinuswert $\sin(90^\circ)=1$ ist.
  Das bedeutet, dass die Punkte $B$ und $C$ auf dem Kreisbogen so weit nach unten verschoben werden, dass sie sich genau gegenüberliegen.
  Der Abstand der beiden Punkte voneinander entspricht dann dem Durchmesser des Kreises.
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