Heft 2 - B1

Der Satz des Pythagoras angewendet auf das Dreieck $\text{ACD}$ lautet:

${\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}^2={\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}}^2+{\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}}^2\Rightarrow \overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\sqrt{{\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}^2-{\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}}^2}$

Einsetzen der bekannten Werte

$\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\sqrt{9^2-{\mathrm{7,1}}^2}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\mathrm{5,53}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Die Strecke $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$ ist $\mathrm{5,53}\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang. Martha hat also recht.

Möglicher anderer Lösungsweg zur Berechnung der Strecke $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$

Berechnen des Winkels $\sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{D}:$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{D})={\displaystyle \frac{\mathrm{7,1}}{9}};$

Berechnen der Strecke $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}:$

$\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{D}\cdot 9$

1. Für den Sinus im Dreieck $\mathrm{DCA}$ gilt :$\sin (\measuredangle \mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{A})={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,1}}{9}}$ $\measuredangle DCA\approx {\mathrm{52,1}}^{\circ }$

2. ${120}^{\circ }=\measuredangle \mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{A}+\measuredangle \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}\Rightarrow \measuredangle \text{ACB}={120}^{\circ }-\measuredangle \mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{A}\approx {\mathrm{67,9}}^{\circ }$

3. Für den Kosinussatz im Dreieck $\mathrm{DCA}$ gilt: $|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}{|}^2=9^2+6^2-2\cdot 9\cdot 6\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\measuredangle \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B})\Rightarrow |\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|\approx \mathrm{8,74}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Berechnen des Umfangs des Vierecks $\text{ABCD}$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{D}\mathrm{A}}$ setze die Zahlenwerte in die Formel ein und $$berechne den Umfang.

${\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}}=\mathrm{8,74}+6+\mathrm{5,53}+\mathrm{7,1}[\mathrm{c}\mathrm{m}]\approx \mathrm{27,37}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Der Umfang des Vierecks $\text{ABCD}$ beträgt ca. $\mathrm{27,37}\mathrm{c}\mathrm{m}.$

Schreibe den Wert in die Lücke.

Andere Möglichkeit die Länge der Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ rechnerisch zu bestimmen:

• Berechne den Winkel $\text{DCA}$:

$\sin (\measuredangle DCA)=\left({\displaystyle \frac{\mathrm{7,1}}{9}}\right)$

• Berechne den Winkel $\text{ACB}:$

$\measuredangle \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}=120°-\measuredangle \mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{A}$

• Berechne die Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ mit dem Sinussatz:

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\measuredangle \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B})}}={\displaystyle \frac{6}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{40,41}°)}}$

Das Dreieck $ACD$ ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks wird berechnet nach folgender Formel:

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ACD$ beträgt 19,63 ${\text{cm\hspace{0.17em}}}^2$

Wird die Höhe im Dreieck $ABC$ auf der Seite $\overline{AC}$ errichtet, so erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck.

Die Seite $\overline{AB}$ ist Hypotenuse dieses Dreiecks, die gesuchte Höhe $h$ ist die Gegenkathete.

Die Höhe $h$ kann dann berechnet werden

Die Höhe auf der Seite $\overline{AC}$ beträgt 5,67 cm

Der Flächeninhalt des Vierecks $ABCD$ ist die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke $ACD$ und $ABC$.

Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$

Flächeninhalt des Vierecks $ABCD$

Der Flächeninhalt des Vierecks $ABCD$ beträgt $\mathrm{45,15}{\text{\hspace{0.17em}cm}}^2$