Heft 2 - B1

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Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Martha hat sich Gedanken über folgendes Viereck gemacht:
Die Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu.
Martha hat herausgefunden: Die Strecke $\overline{C D}$ ist $5{,}53 \mathrm{~cm}$ lang.
1. Zeige, dass Martha recht hat. (2 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  Der Satz des Pythagoras angewendet auf das Dreieck $\ \text{ACD}$ lautet:
  $\mathrm{\overline{AC}^2=\overline{AD}^2+\overline{CD}^2\quad\Rightarrow \overline{CD}=\sqrt{\overline{AC}^2-\overline{AD}^2}}$
  Einsetzen der bekannten Werte
  $\mathrm{\overline{CD}=\sqrt{9^2-7{,}1^2}\ \ cm}$
  $\mathrm{\overline{CD}=5{,}53\ cm}$
  Die Strecke $\mathrm{\overline{CD}}$ ist $\boxed{\mathrm{5{,}53\ cm}}$ lang. Martha hat also recht.
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  Das Dreieck $\text{ACD}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Berechne die Strecke $\mathrm{\overline{CD}}$ mit dem Satz des Pythagoras.
2. Beschreibe einen anderen Lösungsweg, die Länge der Strecke $\overline{C D}$ zu ermitteln.
  Die Rechnung muss nicht ausgeführt werden.
  Ergänze dazu gegebenenfalls die Bezeichnungen in der Planskizze. (2 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
  Möglicher anderer Lösungsweg zur Berechnung der Strecke $\mathrm{\overline{CD}}$
  Berechnen des Winkels $\mathrm{\sphericalangle CAD}:$
  $\mathrm{cos(\sphericalangle{CAD})=\dfrac{7{,}1}{9}}\ ;$
  Berechnen der Strecke $\mathrm{\overline{CD}}:$
  $\mathrm{\overline{CD}=sin{\sphericalangle{CAD}\cdot 9}}$
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  Berechne zuerst den Winkel $\mathrm{CAD}$ , dann die Strecke $\mathrm{\overline{CD}}.$
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Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Martha möchte den Umfang des Vierecks $A B C D$ bestimmen. Dazu berechnet sie die Länge der Strecke $\overline{A B}$ mit dem Kosinussatz.
1. Fülle die drei Lücken in Marthas Beschreibung aus:
  "Ich berechne zuerst $\measuredangle D C A$ über $\sin (\measuredangle D C A)=$ _____
  dann berechne ich den Winkel $\measuredangle$ _____ über $120^{\circ}-\measuredangle D C A$ ;
  dann $|\overline{A B}|^{2}=$ _____
  $\Rightarrow|\overline{A B}| \approx 8{,}74 \mathrm{~cm}$
  (3 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
  Für den Sinus im Dreieck $\mathrm{DCA}$ gilt : $\ \mathrm{\sin (\measuredangle D C A)}=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\boxed{\dfrac{7{,}1}{9}}$ $\measuredangle DCA\approx52{,}1^\circ$
  $\mathrm{120^\circ=\measuredangle{DCA+\measuredangle{ACB}}\quad\Rightarrow \measuredangle{\boxed{\text{ACB}}}=120^\circ-\measuredangle{DCA}}\approx 67{,}9^\circ$
  Für den Kosinussatz im Dreieck $\mathrm{DCA}$ gilt: $\mathrm{|\overline{A B}|^{2}=\boxed{9^2+6^2-2\cdot 9\cdot6\cdot \mathrm{cos{(\measuredangle{ACB})}}}} \quad\Rightarrow\mathrm{|\overline{AB}|\approx8{,}74\ cm}$
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  Anwenden des Sinus im rechtwinkligem Dreieck
  Der Winkel $120^\circ$ setzt sich zusammen aus dem Winkel $\mathrm{\measuredangle{ACB}}$ und dem Winkel $\mathrm{\measuredangle{DCA}}.$
  Anwenden des Kosinussatzes.
2. Berechne den Umfang des Vierecks $A B C D$ . (1 Punkt)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Viereck
  Berechnen des Umfangs des Vierecks $\text{ABCD}$
  $\mathrm{U_{ABCD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}}$ setze die Zahlenwerte in die Formel ein und $\hspace{44mm}$ berechne den Umfang.
  $\mathrm{U_{ABCD}=8{,}74+6+5{,}53+7{,}1\ [cm]\approx27{,}37\ cm}$
  Der Umfang des Vierecks $\text{ABCD}$ beträgt ca. $\boxed{\mathrm{27{,}37\ cm}}.$
  Schreibe den Wert in die Lücke.
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  Berechne den Umfang des Vierecks $\text{ABCD}$ , indem Du die $4$ Seiten addierst.
3. Gib eine andere Möglichkeit an, die Länge der Strecke $\overline{A B}$ rechnerisch zu bestimmen.
  Die Rechnung muss nicht ausgeführt werden. (1 Punkt)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
  Andere Möglichkeit die Länge der Strecke $\mathrm{\overline{AB}}$ rechnerisch zu bestimmen:
  Berechne den Winkel $\text{DCA}$ :
  $\sin (\measuredangle D C A)=\left(\dfrac{7{,}1}{9}\right)$
  Berechne den Winkel $\text{ACB}:$
  $\quad\mathrm{\measuredangle{ACB}=120°-\measuredangle{DCA}}$
  Berechne die Strecke $\mathrm{\overline{AB}}$ mit dem Sinussatz:
  $\quad\mathrm{\dfrac{\overline{AB}}{sin(\measuredangle{ACB})}=\dfrac{6}{sin(40{,}41°)}}$
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  Berechne die die Strecke $\mathrm{\overline{AB}}$ mithilfe des Sinussatzes.

Um den Flächeninhalt des Vierecks $A B C D$ zu bestimmen, werden die Teildreiecke $A C D$ und $A B C$ betrachtet.

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $A C D$ . (2 Punkte)

Weise nach, dass im Dreieck $A B C$ die Höhe auf der Seite $\overline{A C}$ $5{,}67 \mathrm{~cm}$ lang ist. (1 Punkt)

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $A B C D$ . (3 Punkte)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle A_{ACD}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot \text{Kathete\,}_1 \cdot \text{Kathete\,}_2$
	↓	Einsetzen der Werte
$\displaystyle A_{ACD}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot 7{,}1 \cdot 5{,}53$
$\displaystyle A_{ACD}$	$\approx ≈$	$\displaystyle 19{,}63$

$\displaystyle \frac{h}{8{,}74}$	$=$	$\displaystyle \sin(40{,}41^{\circ})$	$\displaystyle \cdot 8{,}74$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \sin(40{,}41^\circ) \cdot 8{,}74$
$\displaystyle h$	$\approx ≈$	$\displaystyle 5{,}67$

$\displaystyle A_{ABC}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 5{,}67$
$\displaystyle A_{ABC}$	$\approx ≈$	$\displaystyle 25{,}52$

$\displaystyle A_{ABCD}$	$\approx ≈$	$\displaystyle A_{ABC}+A_{ACD}$
$\displaystyle A_{ABCD}$	$\approx ≈$	$\displaystyle 25{,}52 + 19{,}63$
$\displaystyle A_{ABCD}$	$\approx ≈$	$\displaystyle 45{,}15$

Heft 2 - B1

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Möglicher anderer Lösungsweg zur Berechnung der Strecke CD‾\mathrm{\overline{CD}}CD

Berechnen des Winkels ∢CAD:\mathrm{\sphericalangle CAD}:∢CAD:

Berechnen der Strecke CD‾:\mathrm{\overline{CD}}: CD:

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Berechnen des Umfangs des Vierecks ABCD\text{ABCD}ABCD

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Andere Möglichkeit die Länge der Strecke AB‾\mathrm{\overline{AB}}AB rechnerisch zu bestimmen:

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Möglicher anderer Lösungsweg zur Berechnung der Strecke $\mathrm{\overline{CD}}$

Berechnen des Winkels $\mathrm{\sphericalangle CAD}:$

Berechnen der Strecke $\mathrm{\overline{CD}}:$

Berechnen des Umfangs des Vierecks $\text{ABCD}$

Andere Möglichkeit die Länge der Strecke $\mathrm{\overline{AB}}$ rechnerisch zu bestimmen: