Aufgaben zum Thema Konfidenzintervalle

Ein möglicherweise gefälschter Würfel wird $6000$ -mal geworfen. Dabei fiel $1200$ -mal die $" 6 "$ .

Wie lautet ein $99{,}7\;\%$ -Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit für eine $" 6 "$ ?

Welche Schlussfolgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?

Relative Häufigkeit berechnen

$X$ ist die Anzahl der $" 6 "$ und $X$ ist binomialverteilt.

Dann gilt für die relative Häufigkeit $h_{n}$ der $" 6 "$ :

$h_n=\dfrac{X}{n}=\dfrac{1200}{6000}=0{,}2$

In das Konfidenzintervall einsetzen

Mit einer Sicherheit von $99{,}7\;\%$ soll die unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$ für eine $" 6 "$ abgeschätzt werden.

Damit gilt: $\left|\dfrac{X}{n}-p\right|\leq 3\cdot\dfrac{\sigma}{n}\;\Rightarrow\;p\in\left[\dfrac{X}{n}-3\cdot\dfrac{\sigma}{n}\;;\;\dfrac{X}{n}+3\cdot\dfrac{\sigma}{n}\right]$

Mit $h_n=\dfrac{X}{n}=0{,}2$ folgt dann:

$\displaystyle \left\|\frac{X}{n}-p\right\|$	$\leq ≤$	$\displaystyle 3\cdot\dfrac{\sigma}{n}$
	↓	Setze $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$ ein.
	$\leq ≤$	$\displaystyle 3\cdot \dfrac{ \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}{n}$
	↓	Vereinfache.
	$\leq ≤$	$\displaystyle 3\cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n} }$
	↓	Setze $\dfrac{X}{n}=0{,}2$ und $n = 6000$ ein.
$\displaystyle \left\|0{,}2-p\right\|$	$\leq ≤$	$\displaystyle 3\cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{6000} }$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle (0{,}2-p)^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle 9\cdot\dfrac{p\cdot (1-p)}{6000}$
	↓	Berechne die Klammern.
$\displaystyle 0{,}04-0{,}4p+p^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle \dfrac{9p-9p^2}{6000}$	$\displaystyle \cdot 6000$
$\displaystyle 240-2400p+6000p^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle 9p-9p^2$	$\displaystyle -9p+9p^2$
$\displaystyle 240-2409p+6009p^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0$

$p$ aus quadratischer Gleichung bestimmen

Die quadratische Gleichung $6009 p^{2} - 2409 p + 240 = 0$ kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden:

$\displaystyle p_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = 6009, b = - 2409$ und $c = 240$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2409\pm\sqrt{2409^2-4\cdot 6009\cdot 240}}{2\cdot6009}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2409\pm\sqrt{34641}}{12018}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle \dfrac{2409\pm186{,}1209}{12018}$

Damit erhält man die Intervallgrenzen:

$p_1\approx\dfrac{2409-186{,}1209}{12018} \approx 0{,}1850$ und $p_2 \approx\dfrac{2409+186{,}1209}{12018}\approx 0{,}2159$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $99{,}7\;\%$ liegt $p$ im Intervall $[0{,}1850\;;\;0{,}2159]$ .

Schlussfolgerung:

Für einen nicht gefälschten Würfel ist $p=\dfrac{1}{6}\approx0{,}1667$ . Dieser $p$ -Wert liegt nicht in dem berechneten Intervall, sodass mit einer Wahrscheinlichkeit von $99{,}7\;\%$ angenommen werden kann, dass der Würfel gefälscht ist.

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Relative Häufigkeit berechnen

In das Konfidenzintervall einsetzen

ppp aus quadratischer Gleichung bestimmen

$p$ aus quadratischer Gleichung bestimmen