Relative Häufigkeit berechnen

$XX$ ist die Anzahl der $\mathrm{"}6\mathrm{"}"6"$ und $XX$ ist binomialverteilt.

Dann gilt für die relative Häufigkeit $h_{n}h\_n$ der $\mathrm{"}6\mathrm{"}"6"$:

$h_n={\displaystyle \frac{X}{n}}={\displaystyle \frac{1200}{6000}}=\mathrm{0,2}h\_n=\backslash dfrac\{X\}\{n\}=\backslash dfrac\{1200\}\{6000\}=0\{,\}2$

In das Konfidenzintervall einsetzen

Mit einer Sicherheit von $\mathrm{99,7}\mathrm{\%}99\{,\}7\backslash ;\backslash \%$ soll die unbekannte Wahrscheinlichkeit $pp$ für eine $\mathrm{"}6\mathrm{"}"6"$ abgeschätzt werden.

Damit gilt: $\mid {\displaystyle \frac{X}{n}}-p\mid \le 3\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}\Rightarrow p\in [{\displaystyle \frac{X}{n}}-3\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}};{\displaystyle \frac{X}{n}}+3\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}]\backslash left|\backslash dfrac\{X\}\{n\}-p\backslash right|\backslash leq\; 3\backslash cdot\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;p\backslash in\backslash left[\backslash dfrac\{X\}\{n\}-3\backslash cdot\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\}\backslash ;;\backslash ;\backslash dfrac\{X\}\{n\}+3\backslash cdot\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\}\backslash right]$

Mit $h_n={\displaystyle \frac{X}{n}}=\mathrm{0,2}h\_n=\backslash dfrac\{X\}\{n\}=0\{,\}2$ folgt dann:

$pp$ aus quadratischer Gleichung bestimmen

Die quadratische Gleichung $6009p^2-2409p+240=06009p^2-2409p+240=0$ kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden:

Damit erhält man die Intervallgrenzen:

$p_1\approx {\displaystyle \frac{2409-\mathrm{186,1209}}{12018}}\approx \mathrm{0,1850}p\_1\backslash approx\backslash dfrac\{2409-186\{,\}1209\}\{12018\}\; \backslash approx\; 0\{,\}1850$ und $p_2\approx {\displaystyle \frac{2409+\mathrm{186,1209}}{12018}}\approx \mathrm{0,2159}p\_2\; \backslash approx\backslash dfrac\{2409+186\{,\}1209\}\{12018\}\backslash approx\; 0\{,\}2159$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\mathrm{99,7}\mathrm{\%}99\{,\}7\backslash ;\backslash \%$ liegt $pp$ im Intervall $[\mathrm{0,1850};\mathrm{0,2159}][0\{,\}1850\backslash ;;\backslash ;0\{,\}2159]$.

Schlussfolgerung:

Für einen nicht gefälschten Würfel ist $p={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}p=\backslash dfrac\{1\}\{6\}\backslash approx0\{,\}1667$. Dieser $pp$-Wert liegt nicht in dem berechneten Intervall, sodass mit einer Wahrscheinlichkeit von $\mathrm{99,7}\mathrm{\%}99\{,\}7\backslash ;\backslash \%$ angenommen werden kann, dass der Würfel gefälscht ist.