Aufgaben zum Thema Konfidenzintervalle

Bestimme Konfidenzintervalle zu einer bestimmten Sicherheitswahrscheinlichkeit. Lerne, die Sigma-Regeln anzuwenden und vertiefe dein Wissen!

1
Ein hergestelltes Werkstück ist mit einer Wahrscheinlichkeit von $12 %$ fehlerhaft.
Ein Baumarkt bestellt 100 Werkstücke.
Wie lauten die Prognoseintervalle für die $1\sigma-,2\sigma-$ und $3\sigma-$ Umgebungen von $μ \mu$ ?
Es ist $\mu=n\cdot p=100\cdot 0{,}12=12$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{100\cdot 0{,}12\cdot 0{,}88}\approx3{,}25>3$ . Die Laplace-Bedingung ist erfüllt.
Berechnung der $\sigma$ -Intervalle $[\mu-c\cdot \sigma;\mu+c\cdot \sigma]$ mit $c = 1, 2$ und $c = 3$ :
$1\sigma-$ Intervall: $[12-1\cdot 3{,}25;12+1\cdot 3{,}25]=[8{,}75;15{,}25]\;\xrightarrow{\text{runden}}\;[9;15]$
$2\sigma-$ Intervall: $[12-2\cdot 3{,}25;12+2\cdot 3{,}25]=[5{,}5;18{,}5]\;\xrightarrow{\text{runden}}\;[6;18]$
$3\sigma-$ Intervall: $[12-3\cdot 3{,}25;12+3\cdot 3{,}25]=[2{,}25;21{,}75]\;\xrightarrow{\text{runden}}\;[3;21]$
MerkeRunden der Intervallgrenzen
Die Intervallgrenzen werden zu $μ \mu$ hin gerundet, d.h. die linke Intervallgrenze wird aufgerundet und die rechte Intervallgrenze wird abgerundet.
Ergebnis:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bestellung mindestens $9$ und höchsten $15$ fehlerhafte Werkstücke enthält, beträgt rund $68{,}3\;\%$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bestellung mindestens $6$ und höchsten $18$ fehlerhafte Werkstücke enthält, beträgt rund $95{,}5\;\%$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bestellung mindestens $3$ und höchsten $21$ fehlerhafte Werkstücke enthält, beträgt rund $99{,}7\;\%$ .
Berechne $\mu=n\cdot p$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$ .
Berechne die $\sigma$ -Intervalle $[\mu-c\cdot \sigma;\mu+c\cdot \sigma]$ mit $c = 1, 2$ und $c = 3$ .
Runde die Intervallgrenzen passend.
2
Ein Medikamentenhersteller verspricht, dass nur $2 %$ der Patienten nach der Einnahme eines bestimmten Medikamentes Nebenwirkungen haben. Das Medikament wird an $500$ Personen getestet.
In welchem Intervall liegt die Anzahl der Personen mit Nebenwirkungen, wenn eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95 %$ gefordert wird?
Erwartungswert, Standardabweichung und Laplace-Bedingung
Es ist $\mu=n\cdot p=500\cdot 0{,}02=10$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{500\cdot 0{,}02\cdot 0{,}98}\approx3{,}13>3$ .
Die Laplace-Bedingung ist erfüllt. Dann kann das Konfidenzintervall mit der Formel $[\mu-1{,}96\cdot \sigma;\mu+1{,}96\cdot \sigma]$ bestimmt werden.
Für die Sicherheitswahrscheinlichkeit $\gamma=95\;\%$ ⁣ findet man in der Tabelle den Wert $c = 1,96.$
Berechnung des $1{,}96\sigma$ -Intervalls $[\mu-1{,}96\cdot \sigma;\mu+1{,}96\cdot \sigma]$ :
$[10-1{,}96\cdot 3{,}13;10+1{,}96\cdot 3{,}13]=[3{,}865;16{,}135]\;\xrightarrow{\text{runden}}\;[4;16]$
Ergebnis:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $95 %$ müssen von den getesteten $500$ Personen mindestens $4$ Personen und höchstens $16$ Personen mit Nebenwirkungen rechnen.
Berechne den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$ .
Zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $\gamma=95\;\%⁣$ findet man den Wert $c = 1,96$ .
Berechne das $1{,}96\sigma$ -Intervall: $[\mu-1{,}96\cdot \sigma;\mu+1{,}96\cdot \sigma]$ .
Runde die Intervallgrenzen passend.

Ein möglicherweise gefälschter Würfel wird $6000$ -mal geworfen. Dabei fiel $1200$ -mal die $" 6 "$ .

Wie lautet ein $99{,}7\;\%$ -Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit für eine $" 6 "$ ?

Welche Schlussfolgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?

Relative Häufigkeit berechnen

$X$ ist die Anzahl der $" 6 "$ und $X$ ist binomialverteilt.

Dann gilt für die relative Häufigkeit $h_{n}$ der $" 6 "$ :

$h_n=\dfrac{X}{n}=\dfrac{1200}{6000}=0{,}2$

In das Konfidenzintervall einsetzen

Mit einer Sicherheit von $99{,}7\;\%$ soll die unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$ für eine $" 6 "$ abgeschätzt werden.

Damit gilt: $\left|\dfrac{X}{n}-p\right|\leq 3\cdot\dfrac{\sigma}{n}\;\Rightarrow\;p\in\left[\dfrac{X}{n}-3\cdot\dfrac{\sigma}{n}\;;\;\dfrac{X}{n}+3\cdot\dfrac{\sigma}{n}\right]$

Mit $h_n=\dfrac{X}{n}=0{,}2$ folgt dann:

$\displaystyle \left\|\frac{X}{n}-p\right\|$	$\leq ≤$	$\displaystyle 3\cdot\dfrac{\sigma}{n}$
	↓	Setze $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$ ein.
	$\leq ≤$	$\displaystyle 3\cdot \dfrac{ \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}{n}$
	↓	Vereinfache.
	$\leq ≤$	$\displaystyle 3\cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n} }$
	↓	Setze $\dfrac{X}{n}=0{,}2$ und $n = 6000$ ein.
$\displaystyle \left\|0{,}2-p\right\|$	$\leq ≤$	$\displaystyle 3\cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{6000} }$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle (0{,}2-p)^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle 9\cdot\dfrac{p\cdot (1-p)}{6000}$
	↓	Berechne die Klammern.
$\displaystyle 0{,}04-0{,}4p+p^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle \dfrac{9p-9p^2}{6000}$	$\displaystyle \cdot 6000$
$\displaystyle 240-2400p+6000p^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle 9p-9p^2$	$\displaystyle -9p+9p^2$
$\displaystyle 240-2409p+6009p^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0$

$p$ aus quadratischer Gleichung bestimmen

Die quadratische Gleichung $6009 p^{2} - 2409 p + 240 = 0$ kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden:

$\displaystyle p_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = 6009, b = - 2409$ und $c = 240$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2409\pm\sqrt{2409^2-4\cdot 6009\cdot 240}}{2\cdot6009}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2409\pm\sqrt{34641}}{12018}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle \dfrac{2409\pm186{,}1209}{12018}$

Damit erhält man die Intervallgrenzen:

$p_1\approx\dfrac{2409-186{,}1209}{12018} \approx 0{,}1850$ und $p_2 \approx\dfrac{2409+186{,}1209}{12018}\approx 0{,}2159$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $99{,}7\;\%$ liegt $p$ im Intervall $[0{,}1850\;;\;0{,}2159]$ .

Schlussfolgerung:

Für einen nicht gefälschten Würfel ist $p=\dfrac{1}{6}\approx0{,}1667$ . Dieser $p$ -Wert liegt nicht in dem berechneten Intervall, sodass mit einer Wahrscheinlichkeit von $99{,}7\;\%$ angenommen werden kann, dass der Würfel gefälscht ist.

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Der Marktanteil eines elektrischen Haushaltsgerätes soll ermittelt werden. Von $600$ zufällig ausgewählten Haushalten besitzen $210$ dieses Gerät.

Bestimme mit exakter Rechnung ein $95{,}5\;\%$ -Konfidenzintervall für $p$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prognose- und Konfidenzintervalle

Gegeben ist $X = 210$ und $n=600\;\Rightarrow\;\dfrac{X}{n}=\dfrac{210}{600}=0{,}35$ .

Für ein $95{,}5\;\%$ -Konfidenzintervall ist $c = 2$ .

Dann erhält man die folgende Ungleichung:

$|0{,}35-p|\leq2\cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{600}}$

$\displaystyle \|0{,}35-p\|$	$\leq ≤$	$\displaystyle 2\cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{600}}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Löse die Wurzel auf.
$\displaystyle (0{,}35-p)^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle 4\cdot\dfrac{p(1-p)}{600}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle (0{,}35-p)^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle \dfrac{p-p^2}{150}$
	↓	Berechne das Quadrat.
$\displaystyle 0{,}1225-0{,}7p+p^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle \dfrac{p-p^2}{150}$	$\displaystyle \cdot150$
$\displaystyle 18{,}375-105p+150p^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle p-p^2$	$\displaystyle -p+p^2$
$\displaystyle 18{,}375-106p+151p^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0$

Die quadratische Gleichung $0=151p^2 -106p+18{,}375$ löst man mit der Mitternachtsformel:

$\displaystyle p_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = 151, b = - 106$ und $c = 18,375$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-106)\pm\sqrt{(-106)^2-4\cdot151\cdot 18{,}375}}{2\cdot151}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{106\pm\sqrt{11236-11098{,}5}}{302}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle \dfrac{106\pm11{,}7260}{302}$

Man erhält die beiden Lösungen $p_1\approx0{,}3122$ und $p_2\approx0{,}3898$ und damit das Konfidenzintervall $[0,3122; 0,3898]$ .

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Verwende die Näherungslösung zur Berechnung des Konfidenzintervalls und vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe a).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prognose- und Konfidenzintervalle
Bei der Näherung wird $p$ unter der Wurzel durch $\dfrac{X}{n}=0{,}35$ ersetzt.
$\Rightarrow\;|0{,}35-p|\leq2\cdot \sqrt{\dfrac{0{,}35(1-0{,}35)}{600}}\approx0{,}0389$
$\Rightarrow\;|0{,}35-p|\leq0{,}0389\;\Rightarrow\;p_1\approx0{,}35-0{,}0389=0{,}3111$ und $p_2\approx0{,}35+0{,}0389=0{,}3889$
Das mit der Näherung berechnete Konfidenzintervall lautet $[0,3111; 0,3889]$ .
Im Vergleich dazu das Ergebnis der "exakten" Rechnung $[0,3122; 0,3898]$ .
Es besteht kein sehr großer Unterschied.
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Bei der Näherung wird $p$ unter der Wurzel durch $\dfrac{X}{n}=0{,}35$ ersetzt.
Löse dann die Ungleichung $|0{,}35-p|\leq2\cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{600}}$ .

Bei der Befragung (Sicherheitswahrscheinlichkeit $95{,}5\;\%$ ) über die Ausstattung von Haushalten mit einem bestimmten elektrischen Haushaltsgerät will man die Ergebnisse auf $2 %$ -Punkte genau haben.

Welcher Stichprobenumfang $n$ ist erforderlich?

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \dfrac{\sigma}{n}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}01$
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{n\cdot p(1-p)}}{n}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}01$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle \dfrac{n\cdot p(1-p)}{n^2}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}01^2$
	↓	Kürze.
$\displaystyle \dfrac{ p(1-p)}{n}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}0001$
	↓	Setze $p = 0,35$ ein.
$\displaystyle \dfrac{0{,}35\cdot 0{,}65}{n}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}0001$	$\displaystyle \cdot n$
$\displaystyle 0{,}2275$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}0001\cdot n$	$\displaystyle \cdot10^4$
$\displaystyle 2275$	$\leq ≤$	$\displaystyle n$

Aufgaben zum Thema Konfidenzintervalle

Erwartungswert, Standardabweichung und Laplace-Bedingung

Relative Häufigkeit berechnen

In das Konfidenzintervall einsetzen

ppp aus quadratischer Gleichung bestimmen

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$p$ aus quadratischer Gleichung bestimmen