Gegeben ist $X=210$ und $n=600\Rightarrow {\displaystyle \frac{X}{n}}={\displaystyle \frac{210}{600}}=\mathrm{0,35}$.

Für ein $\mathrm{95,5}\%$-Konfidenzintervall ist $c=2$.

Dann erhält man die folgende Ungleichung:

$|\mathrm{0,35}-p|\le 2\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{600}}}$

Die quadratische Gleichung $0=151p^2-106p+\mathrm{18,375}$ löst man mit der Mitternachtsformel:

Man erhält die beiden Lösungen $p_1\approx \mathrm{0,3122}$ und $p_2\approx \mathrm{0,3898}$ und damit das Konfidenzintervall $[\mathrm{0,3122};\mathrm{0,3898}]$.

Bei der Näherung wird $p$ unter der Wurzel durch ${\displaystyle \frac{X}{n}}=\mathrm{0,35}$ ersetzt.

$\Rightarrow |\mathrm{0,35}-p|\le 2\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,35}(1-\mathrm{0,35})}{600}}}\approx \mathrm{0,0389}$

$\Rightarrow |\mathrm{0,35}-p|\le \mathrm{0,0389}\Rightarrow p_1\approx \mathrm{0,35}-\mathrm{0,0389}=\mathrm{0,3111}$ und $p_2\approx \mathrm{0,35}+\mathrm{0,0389}=\mathrm{0,3889}$

Das mit der Näherung berechnete Konfidenzintervall lautet $[\mathrm{0,3111};\mathrm{0,3889}]$.

Im Vergleich dazu das Ergebnis der "exakten" Rechnung $[\mathrm{0,3122};\mathrm{0,3898}]$.

Es besteht kein sehr großer Unterschied.

Es ist gefordert: $|{\displaystyle \frac{X}{n}}-p|\le \mathrm{0,02}$

Anderseits ist $|{\displaystyle \frac{X}{n}}-p|\le 2\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}$$\Rightarrow 2\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}\le \mathrm{0,02}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}\le \mathrm{0,01}$

Es ist ein Stichprobenumfang von mindestens $2275$ Haushalten erforderlich.