Aufgaben zum Thema Konfidenzintervalle

Der Marktanteil eines elektrischen Haushaltsgerätes soll ermittelt werden. Von $600$ zufällig ausgewählten Haushalten besitzen $210$ dieses Gerät.

Bestimme mit exakter Rechnung ein $95{,}5\;\%$ -Konfidenzintervall für $p$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prognose- und Konfidenzintervalle

Gegeben ist $X = 210$ und $n=600\;\Rightarrow\;\dfrac{X}{n}=\dfrac{210}{600}=0{,}35$ .

Für ein $95{,}5\;\%$ -Konfidenzintervall ist $c = 2$ .

Dann erhält man die folgende Ungleichung:

$|0{,}35-p|\leq2\cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{600}}$

$\displaystyle \|0{,}35-p\|$	$\leq ≤$	$\displaystyle 2\cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{600}}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Löse die Wurzel auf.
$\displaystyle (0{,}35-p)^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle 4\cdot\dfrac{p(1-p)}{600}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle (0{,}35-p)^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle \dfrac{p-p^2}{150}$
	↓	Berechne das Quadrat.
$\displaystyle 0{,}1225-0{,}7p+p^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle \dfrac{p-p^2}{150}$	$\displaystyle \cdot150$
$\displaystyle 18{,}375-105p+150p^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle p-p^2$	$\displaystyle -p+p^2$
$\displaystyle 18{,}375-106p+151p^2$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0$

Die quadratische Gleichung $0=151p^2 -106p+18{,}375$ löst man mit der Mitternachtsformel:

$\displaystyle p_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = 151, b = - 106$ und $c = 18,375$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-106)\pm\sqrt{(-106)^2-4\cdot151\cdot 18{,}375}}{2\cdot151}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{106\pm\sqrt{11236-11098{,}5}}{302}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle \dfrac{106\pm11{,}7260}{302}$

Man erhält die beiden Lösungen $p_1\approx0{,}3122$ und $p_2\approx0{,}3898$ und damit das Konfidenzintervall $[0,3122; 0,3898]$ .

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Verwende die Näherungslösung zur Berechnung des Konfidenzintervalls und vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe a).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prognose- und Konfidenzintervalle
Bei der Näherung wird $p$ unter der Wurzel durch $\dfrac{X}{n}=0{,}35$ ersetzt.
$\Rightarrow\;|0{,}35-p|\leq2\cdot \sqrt{\dfrac{0{,}35(1-0{,}35)}{600}}\approx0{,}0389$
$\Rightarrow\;|0{,}35-p|\leq0{,}0389\;\Rightarrow\;p_1\approx0{,}35-0{,}0389=0{,}3111$ und $p_2\approx0{,}35+0{,}0389=0{,}3889$
Das mit der Näherung berechnete Konfidenzintervall lautet $[0,3111; 0,3889]$ .
Im Vergleich dazu das Ergebnis der "exakten" Rechnung $[0,3122; 0,3898]$ .
Es besteht kein sehr großer Unterschied.
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Bei der Näherung wird $p$ unter der Wurzel durch $\dfrac{X}{n}=0{,}35$ ersetzt.
Löse dann die Ungleichung $|0{,}35-p|\leq2\cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{600}}$ .

Bei der Befragung (Sicherheitswahrscheinlichkeit $95{,}5\;\%$ ) über die Ausstattung von Haushalten mit einem bestimmten elektrischen Haushaltsgerät will man die Ergebnisse auf $2 %$ -Punkte genau haben.

Welcher Stichprobenumfang $n$ ist erforderlich?

$\displaystyle \dfrac{\sigma}{n}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}01$
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{n\cdot p(1-p)}}{n}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}01$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle \dfrac{n\cdot p(1-p)}{n^2}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}01^2$
	↓	Kürze.
$\displaystyle \dfrac{ p(1-p)}{n}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}0001$
	↓	Setze $p = 0,35$ ein.
$\displaystyle \dfrac{0{,}35\cdot 0{,}65}{n}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}0001$	$\displaystyle \cdot n$
$\displaystyle 0{,}2275$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0{,}0001\cdot n$	$\displaystyle \cdot10^4$
$\displaystyle 2275$	$\leq ≤$	$\displaystyle n$