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Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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  1. 1

    Das Zelt eines Jugendzirkus weist die Form eines regelmĂ€ĂŸigen Prismas mit aufgesetzter Pyramide auf und wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem des R3\mathbb{R^3} betrachtet. Die GrundflĂ€che des Zeltes liegt in der x1x_1-x2x_2-Koordinatenebene und ist ein regelmĂ€ĂŸiges Sechseck OABCDEOABCDE mit dem Mittelpunkt M(3∣33∣0)M(3| 3\sqrt{ 3}| 0). Die Seiten des Sechsecks sind jeweils 6 m6 \m lang. Der Punkt OO liegt im Koordinatenursprung, AA hat die Koordinaten (6∣0∣0)(6| 0| 0) und A1A_1 die Koordinaten (6∣0∣4)(6| 0| 4). Das Dach des Zeltes wird durch eine regelmĂ€ĂŸige sechseckige Pyramide gebildet. Die Spitze S des Zeltes liegt senkrecht ĂŒber MM in einer Höhe von 6 m6 \m. Die Koordinaten sind LĂ€ngenangaben in der Einheit Meter. Auf die MitfĂŒhrung von Einheiten wĂ€hrend der Rechnungen kann verzichtet werden. Die Ergebnisse sind sinnvoll zu runden.

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    ZusÀtzlich zeigt die folgende Zeichnung den Grundriss des Zeltes in der x1x_1-x2x_2-Ebene.

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    1. Ermitteln Sie die Koordinaten der Eckpunkte BB, CC und C1.C_1.

    2. FĂŒr das Zelt und die Zirkuswagen wird eine StellflĂ€che benötigt, die 2,52{,}5-mal so groß ist wie die GrundflĂ€che des Zirkuszeltes. Ein Landwirt stellt dem Zirkus eine Wiese mit einer FlĂ€che von 240 m2240\ mÂČ zur VerfĂŒgung. PrĂŒfen Sie, ob diese FlĂ€che groß genug ist.

      [ Teilergebnis: AZelt≈93,5 m2A_{Zelt}\approx 93{,}5\m^2 ]

    3. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene FF in Koordinatenform, welche durch die Punkte O1(0∣0∣4)O_1(0|0|4), E1(−3∣33∣4)E_1(-3| 3\sqrt{ 3}| 4) und S(3∣33∣6)S(3| 3\sqrt{ 3}| 6) festgelegt wird.

      [ Mögliches Ergebnis: F:x1+33x2+3x3=−12F:x_1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}x_2+3x_3=-12 ]

    4. Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene FF aus Teilaufgabe 1.c gegenĂŒber der GrundflĂ€che des Zeltes.

    5. Vom Schwerpunkt SPSP des Dreiecks O1SE1O_1SE_1 soll senkrecht zur Ebene FF ein Drahtseil bis zum Boden gespannt werden. Berechnen Sie die LĂ€nge dieses Seils.

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    6. Zur Abendvorstellung soll ein Lichtstrahl auf die SeitenflĂ€che OAA1O1OAA_1O_1, in der sich auch der Eingang befindet, treffen. Dazu wird auf einem Mast ein Spotlight installiert, dessen Lichtstrahl durch h:x→=(2−410)+s⋅(34−5)h:\overrightarrow x=\begin{pmatrix} 2 \\ -4\\ 10 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix} mit s∈R+s\in \mathbb{R^+} beschrieben wird. PrĂŒfen Sie, ob der Lichtstrahl des Spotlights die SeitenflĂ€che OAA1O1OAA_1O_1 trifft. Geben Sie gegebenenfalls an, wie die Position des Spotlights am Mast verĂ€ndert werden muss, damit die gewĂŒnschte Beleuchtung erzielt wird, wenn der Lichtstrahl nach wie vor parallel zu hh verlaufen soll.


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