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B II

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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  1. 1

    Im R3\mathbb{R}^3 sind die Punkte A(3∣2∣4),B(3∣–2∣2)A(3| 2| 4), B(3| –2| 2) und die Gerade g:x⃗=(213)+r(021)g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} mit r∈Rr\in\mathbb{R} gegeben.

    1. Die Gerade hh verlÀuft durch die Punkte AA und BB. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden hh und geben Sie die besondere Lage der Geraden gg im Koordinatensystem an.

    2. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden gg und hh.

    3. Die beiden Geraden gg und hh spannen die Ebene EE auf. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform.

      [ Mögliches Ergebnis: E:x1+x2−2x3+3=0E: x_1+x_2-2x_3+3=0 ]

    4. Der Punkt C(2∣1∣3)C(2| 1| 3) ist der Aufpunkt der Geraden gg. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes AA*, der sich durch Spiegelung von AA an CC ergibt, und begrĂŒnden Sie ohne weitere Rechnung, dass der Punkt AA* in der Ebene EE liegt.

    5. Fertigen Sie eine aussagekrÀftige Skizze an, in der die gegenseitige Lage der Ebene EE, der Geraden gg und hh sowie der Punkte A,AA, A* und CC erkennbar ist. Verwenden Sie kein Koordinatensystem.

    6. Gegeben ist die Ebenenschar Fa:x1+a2x2−2x3+a+2=0F_a:x_1+a^2x_2-2x_3+a+2=0 mit a∈Ra\in\mathbb{R}. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen EE und FaF_a in AbhĂ€ngigkeit von aa.

  2. 2

    Ein landwirtschaftlicher Betrieb (LL), eine MĂŒhle (MM) und eine BĂ€ckerei (BB) sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief-Modell verbunden. Folgende Verflechtungstabelle stellt die Beziehungen zwischen den einzelnen Sektoren dar (alle Angaben in Mengeneinheiten ME):

    Bild
    1. Bestimmen Sie die Werte von a,ba, b und cc und geben Sie deren Bedeutung im Sinne der vorliegenden Thematik an.

    2. Beim landwirtschaftlichen Betrieb betrĂ€gt der gesamte Erlös 240.000 €. Dabei erzielt er pro ME am Markt doppelt so viel wie er von der BĂ€ckerei bzw. der MĂŒhle erhĂ€lt. Berechnen Sie, wie hoch die Einnahmen des landwirtschaftlichen Betriebs am Markt pro ME sind.

    3. Der landwirtschaftliche Betrieb stellt seinen Hof auf biologischen Anbau um und produziert deshalb ein Viertel ME weniger als bisher. Die MĂŒhle produziert infolgedessen 40 ME weniger als bisher.

      1) Bestimmen Sie, in welchem Intervall sich dann die möglichen Produktionszahlen der BÀckerei bewegen.

      2) Durch die Umstellung lĂ€sst sich am Markt ein höherer Preis fĂŒr die Produkte von LL von nun 3000 € pro ME erzielen. Weiterhin zahlen die Abnehmer MĂŒhle und BĂ€ckerei jeweils die HĂ€lfte des Marktpreises fĂŒr eine ME von LL. PrĂŒfen Sie, ob die Umstellung zu einer Verringerung der Einnahmen fĂŒhrt (vgl. Teilaufgabe 2.b), wenn man davon ausgeht, dass die BĂ€ckerei 60 ME insgesamt produziert.

    4. Nach der erfolgreichen Umstellung auf Bio-Anbau verkauft der landwirtschaftliche Betrieb im folgenden Jahr mehr in seinem Hofladen, sodass die Marktabgabe auf 52 ME steigt. Sowohl die MĂŒhle als auch die BĂ€ckerei hingegen leiden an starker sich im Umland ansiedelnder Konkurrenz. Deshalb gibt die MĂŒhle nur noch 39 ME und die BĂ€ckerei 78 ME an den Markt ab. Bestimmen Sie die daraus resultierenden Produktionszahlen der drei Betriebe.


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