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Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

  1. 1

    Gegeben ist die reelle Funktion f durch f(x)=(x22x3)e0,5x=(x+1)(x3)e0,5x mit der maximalen Definitionsmenge Df=. Ihr Graph ist Gf. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen.

    1. Geben Sie die Nullstellen der Funktion f an und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für x+ und x.

    2. Berechnen Sie Art und Koordinaten aller Extrempunkte von Gf.

      [ mögliches Teilergebnis: f(x)=0,5(x26x+1)e0,5x ]

    3. Zeichnen Sie Gf für 2x12 unter Verwendung vorliegender Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem.

    4. Gegeben ist die Funktion g:x5e0,5x. Ihr Graph ist Gg. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen Gf und Gg und zeichnen Sie den Graphen Gg in das Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.c) ein.

      [Teilergebnis: x1=2 und x2=4 ]

    5. Zeigen Sie, dass die Funktion F:xF(x)=2e0,5x(x+1)2 mit Df=DF eine Stammfunktion der Funktion f ist.

    6. Die Graphen Gf und Gg schließen ein endliches Flächenstück ein, das in allen vier Quadranten liegt. Schraffieren Sie dieses im Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.c) und berechnen Sie die zugehörige Flächenmaßzahl auf zwei Nachkommastellen gerundet.

  2. 2

    Die Abbildung zeigt den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion h:xh(x)=0,25x+0,75+ax+b, Dh,max mit seiner schiefen Asymptote y=0,25x+0,75 und der weiteren Asymptote x=1. Es gilt a,b. Alle abzulesenden Werte sind ganzzahlig.

    Bild
    1. Aus der Gleichung der schiefen Asymptote können limn(h(x)(0,25x+75)) und limnh(x) gefolgert werden. Geben Sie diese Grenzwerte an und begründen Sie Ihre Ergebnisse.

    2. Für diese Teilaufgabe gilt x>1. Lesen Sie aus der Abbildung die Lösungsmenge der Ungleichung h(x)<2 ab.

    3. Bestimmen Sie die Parameter a und b und geben Sie die Funktionsgleichung der Funktion h an.

    4. Gegeben ist die Funktion k mit k(x)=ln(h(x)) in ihrer maximalen Definitionsmenge Dk. Ihr Graph ist Gk. Geben Sie die Definitionsmenge Dk von k und die Gleichungen der senkrechten Asymptoten von Gk an.

  3. 3

    In hochwertige Edelstahlfläschchen

    Bild

    sollen jeweils 100 cm3 Parfüm abgefüllt werden. Die Form des Fläschchens ist durch einen geraden Kreiszylinder

    Bild

    mit einer oben aufgesetzten Halbkugel vorgegeben. Die Aussparung für den Sprühkopf wird nicht berücksichtigt. Für die Oberfläche O (in cm2) des Fläschchens in Abhängigkeit von seinem Radius r (in cm) erhält man die Funktionsgleichung O(r)=53πr2+200r mit der Definitionsmenge DO=]0;3,5]. Auf die Mitführung von Einheiten wird verzichtet. Runden Sie gegebenenfalls Ihre Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Bestimmen Sie das Verhalten von O(r) für r0.

    2. Berechnen Sie den Radius r, für den die Oberfläche O den absolut kleinsten Wert annimmt, und bestätigen Sie, dass Omin112,23( cm2) gilt.

    3. Erstellen Sie für 1r3,5 eine Wertetabelle mit der Schrittweite r=0,5. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion O in ein Koordinatensystem im angegebenen Bereich. Wählen Sie hierfür einen geeigneten Maßstab.

    4. Der Parfümhersteller möchte aus optischen Gründen den Radius r=2(cm) wählen. Berechnen Sie dafür den Mehrbedarf an Edelstahlblech im Vergleich zu Omin in Prozent. Begründen Sie stichhaltig, dass für alle Radien mit r[2;3,5] weniger als 10% Mehrbedarf an Blech im Vergleich zu Omin benötigt werden.


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