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Geben Sie die Nullstellen der Funktion $ff$ an und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte $f(x)f(x)$ für $x\to +\mathrm{\infty }x\to \; +\infty$ und $x\to -\mathrm{\infty }x\to \; -\infty$.

Berechnen Sie Art und Koordinaten aller Extrempunkte von $G_{f}G\_f$.

[ mögliches Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{0,5}(x^2-6x+1)e^{-\mathrm{0,5}x}f\text{'}(x)=-0\{,\}5(x^2-6x+1)e^\{-0\{,\}5x\}$ ]

Zeichnen Sie $G_{f}G\_f$ für $-2\le x\le 12-2\backslash le\; x\backslash le\; 12$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem.

Gegeben ist die Funktion $g:x\mapsto 5\cdot e^{-\mathrm{0,5}x}g:x\backslash mapsto5\backslash cdot\; e^\{-0\{,\}5x\}$. Ihr Graph ist $G_{g}G\_g$. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen $G_{f}G\_f$ und $G_{g}G\_g$ und zeichnen Sie den Graphen $G_{g}G\_g$ in das Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.c) ein.

[Teilergebnis: $x_1=-2x\_1=-2$ und $x_2=4x\_2=4$ ]

Zeigen Sie, dass die Funktion $F:x\mapsto F(x)=-2e^{-\mathrm{0,5}x}(x+1{)}^{2}F:x\backslash mapsto\; F(x)=\; -2e^\{-0\{,\}5x\}(x+1)^2$ mit $D_f=D_{F}D\_f=D\_F$ eine Stammfunktion der Funktion $ff$ ist.

Die Graphen $G_{f}G\_f$ und $G_{g}G\_g$ schließen ein endliches Flächenstück ein, das in allen vier Quadranten liegt. Schraffieren Sie dieses im Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.c) und berechnen Sie die zugehörige Flächenmaßzahl auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Aus der Gleichung der schiefen Asymptote können ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(h(x)-(\mathrm{0,25}x+75))}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}(h(x)-(0\{,\}25x+75))$ und ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{h}^{\mathrm{\prime }}(x)}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; h\text{'}(x)$ gefolgert werden. Geben Sie diese Grenzwerte an und begründen Sie Ihre Ergebnisse.

Für diese Teilaufgabe gilt $x>1x\; >\; 1$. Lesen Sie aus der Abbildung die Lösungsmenge der Ungleichung ab.

Bestimmen Sie die Parameter $aa$ und $bb$ und geben Sie die Funktionsgleichung der Funktion $hh$ an.

Gegeben ist die Funktion $kk$ mit $k(x)=\ln (h(x))k(x)=\backslash ln(h(x))$ in ihrer maximalen Definitionsmenge $D_k\subset \mathbb{R}D\_k\backslash subset\backslash mathbb\{R\}$. Ihr Graph ist $G_{k}G\_k$. Geben Sie die Definitionsmenge $D_{k}D\_k$ von $kk$ und die Gleichungen der senkrechten Asymptoten von $G_{k}G\_k$ an.

Bestimmen Sie das Verhalten von $O(r)O(r)$ für $r\to 0r\backslash rightarrow\; 0$.

Berechnen Sie den Radius $rr$, für den die Oberfläche $OO$ den absolut kleinsten Wert annimmt, und bestätigen Sie, dass $O_{\text{min}}\approx \mathrm{112,23}({\text{ cm}}^2)O\_\{\backslash text\{min\}\}\backslash approx112\{,\}23(\backslash cm^2)$ gilt.

Erstellen Sie für $1\le r\le \mathrm{3,5}1\backslash le\; r\backslash le3\{,\}5$ eine Wertetabelle mit der Schrittweite $\text{∆}r=\mathrm{0,5}∆r\; =\; 0\{,\}5$. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $OO$ in ein Koordinatensystem im angegebenen Bereich. Wählen Sie hierfür einen geeigneten Maßstab.

Der Parfümhersteller möchte aus optischen Gründen den Radius $r=2(\text{cm})r\; =\; 2\; (\backslash text\{cm\})$ wählen. Berechnen Sie dafür den Mehrbedarf an Edelstahlblech im Vergleich zu $O_{\text{min}}O\_\{\backslash text\{min\}\}$ in Prozent. Begründen Sie stichhaltig, dass für alle Radien mit $r\in [2;\mathrm{3,5}]r\backslash in[\; 2;\; 3\{,\}5]$ weniger als $10\mathrm{\%}10\backslash \%$ Mehrbedarf an Blech im Vergleich zu $O_{\text{min}}O\_\{\backslash text\{min\}\}$ benötigt werden.