Geben Sie die Nullstellen der Funktion $ff$ an und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte $f(x)f(x)$ für $x\to +\mathrm{\infty }x\to \; +\infty$ und $x\to -\mathrm{\infty }x\to \; -\infty$.

Berechnen Sie Art und Koordinaten aller Extrempunkte von $G_{f}G\_f$.

[ mögliches Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{0,5}(x^2-6x+1)e^{-\mathrm{0,5}x}f\text{'}(x)=-0\{,\}5(x^2-6x+1)e^\{-0\{,\}5x\}$ ]

Zeichnen Sie $G_{f}G\_f$ für $-2\le x\le 12-2\backslash le\; x\backslash le\; 12$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem.

Gegeben ist die Funktion $g:x\mapsto 5\cdot e^{-\mathrm{0,5}x}g:x\backslash mapsto5\backslash cdot\; e^\{-0\{,\}5x\}$. Ihr Graph ist $G_{g}G\_g$. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen $G_{f}G\_f$ und $G_{g}G\_g$ und zeichnen Sie den Graphen $G_{g}G\_g$ in das Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.c) ein.

[Teilergebnis: $x_1=-2x\_1=-2$ und $x_2=4x\_2=4$ ]

Zeigen Sie, dass die Funktion $F:x\mapsto F(x)=-2e^{-\mathrm{0,5}x}(x+1{)}^{2}F:x\backslash mapsto\; F(x)=\; -2e^\{-0\{,\}5x\}(x+1)^2$ mit $D_f=D_{F}D\_f=D\_F$ eine Stammfunktion der Funktion $ff$ ist.

Die Graphen $G_{f}G\_f$ und $G_{g}G\_g$ schließen ein endliches Flächenstück ein, das in allen vier Quadranten liegt. Schraffieren Sie dieses im Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.c) und berechnen Sie die zugehörige Flächenmaßzahl auf zwei Nachkommastellen gerundet.