A I - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die reelle Funktion $f$ durch $f (x) = (x^{2} - 2 x - 3) e^{- 0,5 x} = (x + 1) (x - 3) e^{- 0,5 x}$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ . Ihr Graph ist $G_{f}$ . Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen.

Geben Sie die Nullstellen der Funktion $f$ an und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte $f (x)$ für $x \to + \infty$ und $x \to - \infty$ .
Berechnen Sie Art und Koordinaten aller Extrempunkte von $G_{f}$ .
[ mögliches Teilergebnis: $f^{'} (x) = - 0,5 (x^{2} - 6 x + 1) e^{- 0,5 x}$ ]
Zeichnen Sie $G_{f}$ für $- 2 \leq x \leq 12$ unter Verwendung vorliegender Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem.
Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto 5 \cdot e^{- 0,5 x}$ . Ihr Graph ist $G_{g}$ . Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen $G_{f}$ und $G_{g}$ und zeichnen Sie den Graphen $G_{g}$ in das Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.c) ein.
[Teilergebnis: $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = 4$ ]
Zeigen Sie, dass die Funktion $F : x \mapsto F (x) = - 2 e^{- 0,5 x} (x + 1)^{2}$ mit $D_{f} = D_{F}$ eine Stammfunktion der Funktion $f$ ist.
Die Graphen $G_{f}$ und $G_{g}$ schließen ein endliches Flächenstück ein, das in allen vier Quadranten liegt. Schraffieren Sie dieses im Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.c) und berechnen Sie die zugehörige Flächenmaßzahl auf zwei Nachkommastellen gerundet.

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