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Apfelbauer $\text{AP}$ , Birnenbauer $\text{BI}$ , Kirschenbauer $\text{KI}$ und Erdbeerbauer $\text{ER}$ sind vier Obstbauern vom Bodensee, die untereinander die Obstsorten tauschen, um jeweils in ihrem Hofladen den Kunden verschiedene, gemischte Obstkisten anbieten zu können.
1. Die vier Bauern sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief-Modell verbunden. Die Inputmatrix ist
  $A = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}1 & 0{,}05 & 0{,}05 \\ 0{,}07 & 0{,}7 & 0 & 0{,}03 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}05 & 0{,}15 & 0{,}5\end{pmatrix}$
  Die Gesamtproduktion von $\text{KI}$ beträgt $200$ ME (Mengeneinheiten), diejenige von $\text{ER}$ $600$ ME. Übertragen Sie das Verflechtungsdiagramm (siehe unten) auf Ihren Bearbeitungsbogen, berechnen Sie alle fehlenden Zahlenwerte und tragen Sie diese in Ihr Diagramm ein.
2. Nach der Erdbeer-Saison steigt Bauer $\text{ER}$ aus dem gemeinsamen Tausch aus, während $A P$ , $B I$ und $K I$ weiter zusammenarbeiten. Für die neue, veränderte Inputmatrix $A$ * gilt: $A$ *= $\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}1 & 0{,}05 \\ 0{,}07 & 0{,}7 & 0 \\ 0 & 0{,}1 & 0{,}3 \end{pmatrix}$
  (1) Die Produktionszahlen ändern sich zum Saisonende und werden durch den Produktionsvektor $\vec{x} = \begin{pmatrix} 700+2k \\ 600 \\ 150-k \end{pmatrix}$ mit $k\in \mathbb{R}_0^+$ dargestellt. Berechnen Sie die Produktionsmengen der Bauern, wenn $\text{BI}$ $124$ ME an den Markt abgibt.
  (2) Nach strukturellen Veränderungen in den Betrieben kalkulieren die Bauern $\text{AP}$ , $\text{BI}$ und $\text{KI}$ für die kommende Saison eine Marktabgabe von $351$ ME an Äpfeln, $157$ ME Birnen und $76$ ME Kirschen. Bestimmen Sie die Mengen an Obst, die die Bauern bei gleichbleibender Verflechtung jeweils produzieren müssten, um die Konsummengen zu erreichen.
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Im $\mathbb{R}^3$ sind die Punkte $A (2 ∣ 2 ∣ – 1)$ , $B (0 ∣ – 2 ∣ 1)$ und $C_{k} (k ∣ – 2 + k ∣ – k)$ mit $k\in\mathbb{R}$ gegeben.
1. Die Punkte $A$ und $B$ legen die Gerade $g$ fest, die Punkte $C_{k}$ liegen auf der Geraden $h$ . Geben Sie jeweils eine Gleichung der beiden Geraden an und untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Geraden.
2. Für die folgenden Teilaufgaben gilt $k = - 3$ . Es ergibt sich $C_{-3}−(–3| –5| 3)$ .
  (1) Die Punkte $A, B$ und $C_{- 3}$ legen die Ebene $E$ fest. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter- und Koordinatenform.
  [ mögliches Teilergebnis: $E : x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} - 1 = 0$ ]
  (2) Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Ebene $E$ mit der Ebene $F:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -5 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ mit $r,t\in\mathbb{R}$ und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden.
  (3) Die Punkte $A, B, C_{-3}$ und $D (3 ∣ 5 ∣ 5)$ legen ein Tetraeder fest (siehe Skizze).
  Spiegelt man den Punkt $C_{3}$ am Punkt $D$ , so erhält man den Punkt $C_{- 3}^{*}$ . Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $C_{- 3}^{*}$ .
  (4) Der Punkt $C_{- 3}^{*}$ liegt in der Ebene $F$ (Nachweis nicht erforderlich). Eine der Seitenflächen des Tetraeders liegt ganz in der Ebene $F$ . Entscheiden Sie, welche der Flächen das ist und begründen Sie Ihre Entscheidung.
  (5) Der Punkt $S(-\dfrac{1}{3}| -\dfrac{5}{3}| 1)$ ist Schwerpunkt des Dreiecks $ABC_{-3}$ , der Punkt $M$ ist Mittelpunkt der Kante $\overline{AB}$ und der Punkt $N$ ist Mittelpunkt der Kante $\overline{DC_{-3}}$ . Die Gerade $M N$ und die Gerade $D S$ schneiden sich im Punkt $P$ . Berechnen Sie Koordinaten des Punktes $P$ .

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