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Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie II

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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    Ein Haus hat die Form eines Quaders mit oben aufgesetzter Pyramide. Das Haus wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem des R3\mathbb{R^3} betrachtet. Der Punkt OO liegt im Koordinatenursprung und die Punkte AA und CC liegen auf den Koordinatenachsen. Die Spitze SS liegt senkrecht ĂŒber dem Mittelpunkt der durch die Punkte O,A,BO, A, B und CC festgelegten quadratischen GrundflĂ€che des Hauses. Die sĂŒdliche DachflĂ€che wird durch die Punkte F(12∣12∣5)F(12|12|5), G(0∣12∣5)G(0|12|5) und S(6∣6∣13)S(6|6|13) begrenzt. Die Koordinaten sind LĂ€ngenangaben in der Einheit Meter. Auf die MitfĂŒhrung von Einheiten wĂ€hrend der Rechnungen kann verzichtet werden.

    Der Bauherr geht davon aus, dass bei einer DachflĂ€chenneigung von mindestens 50°50° gegenĂŒber der GrundflĂ€che Schnee problemlos von der DachflĂ€che abrutschen kann. Untersuchen Sie, ob die Dachneigung des Hauses hierfĂŒr ausreicht.

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    Auf der sĂŒdlichen DachflĂ€che (siehe Aufgabe 1) ist ein Sonnenkollektor angebracht, der durch das Rechteck IJPNIJPN dargestellt wird. Die Kante IJ‟\overline{IJ} verlĂ€uft parallel zur Kante FG‟\overline{FG}.

    Ferner gilt: I(9∣11,7∣5,4)I(9|11{,}7|5{,}4), J(3∣11,7∣5,4J(3|11{,}7|5{,}4) und ∣INâ€ŸâˆŁ=∣JPâ€ŸâˆŁ=3,5 m|\overline{IN}|=|\overline{JP}|=3{,}5\m

    1. Der Punkt MFG‟M_{\overline{FG}} ist der Mittelpunkt der Kante FG‟\overline{FG} . ErlĂ€utern Sie, dass der Vektor ON→\overrightarrow{ON} mit Hilfe der Gleichung ON→=OI→+IN→∣MFG‟S→∣⋅MFG‟S→\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OI}+\dfrac{\overrightarrow{IN}}{|\overrightarrow{M_{\overline{FG}}S}|}\cdot \overrightarrow{M_{\overline{FG}}S} berechnet werden kann und bestimmen Sie die Koordinaten von NN.

      [ Ergebnis: N(9∣9,6∣8,2)N(9|9{,}6|8{,}2) ]

    2. Berechnen Sie den prozentualen Anteil der sĂŒdlichen DachflĂ€che, die vom Sonnenkollektor bedeckt ist.

    3. Die Position einer Satellitenanlage auf dem Dach eines Nachbarhauses lĂ€sst sich stark vereinfacht durch den Punkt Z(15∣27∣17)Z(15|27|17)beschreiben. Die Einstrahlrichtung der Sonne wird zum Zeitpunkt des vermuteten Leistungsmaximums des Sonnenkollektors durch den Vektor v⃗=(−5−9−4)\vec{v} = \begin{pmatrix} -5 \\ -9 \\ -4 \end{pmatrix} beschrieben. Untersuchen Sie durch Rechnung, ob der Schattenwurf der Satellitenanlage zum Zeitpunkt des vermuteten Leistungsmaximums innerhalb der SonnenkollektorflĂ€che liegt. Ermitteln Sie hierfĂŒr zunĂ€chst eine Gleichung der durch die sĂŒdliche DachflĂ€che festgelegten Ebene EE in geeigneter Darstellungsform.


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