Stochastik Teil A, Aufgabengruppe 1

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Bei einem Spiel wird ein Würfel einmal geworfen und ein Glücksrad einmal gedreht. Die Seiten des Würfels sind mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert. Das Glücksrad hat zehn gleich große Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 10 durchnummeriert sind. Man gewinnt das Spiel, wenn die mit dem Glücksrad erzielte Zahl kleiner ist als die mit dem Würfel erzielte Zahl, andernfalls verliert man das Spiel.
1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, das Spiel zu gewinnen, $\frac{1}{4}$ beträgt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  Um die gefragte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, überlegt man sich, wie viele Ergebnisse es gibt, die die Kriterien erfüllen, und dividiert sie dann durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.
  Würfelt man eine eins, so gibt es keine Möglichkeit zu gewinnen.
  Würfelt man eine zwei, so gibt es eine Möglichkeit zu gewinnen: wenn man beim Glücksrad eine eins erzielt.
  Würfelt man eine drei, so gibt es zwei Möglichkeiten zu gewinnen, bei einer vier gibt es drei Möglichkeiten, bei einer fünf gibt es vier Möglichkeiten, bei einer sechs gibt es fünf Möglichkeiten.
  Insgesamt gibt es also $0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ Ergebnisse, bei denen man gewinnt.
  Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse berechnet man, indem man das Produkt der Anzahl der möglichen Ergebnisse des Würfelwurfs mit der Anzahl der möglichen Ergebnisse des Drehens am Glücksrad bildet:
  $6 \cdot 10 = 60$
  Jetzt teilt man noch die Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse:
  $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$
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  Überlege dir, wie viele Ereignisse es gibt, die die Kriterien erfüllen
  Berechne die Anzahl aller möglichen Ereignisse
  Teile die Anzahl der günstigen durch die Anzahl der möglichen Ereignisse
2. Das Spiel wird fünfmal gespielt. Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $(\frac{1}{4})^{2} \cdot (\frac{3}{4})^{3}$ ⋅ berechnet
  werden kann.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  In der Teilaufgabe a) haben wir gerade berechnet, dass die Wahrscheinlichkeit, das Spiel zu gewinnen, $\frac{1}{4}$ beträgt. Die Wahrscheinlichkeit zu verlieren muss also $\frac{3}{4}$ betragen.
  Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass man die ersten zwei Spiele gewinnt und die letzten drei verliert.
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