Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Lösen Sie die folgenden beiden Aufgaben.

Geben Sie einen Term einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ an, die den Wertebereich $[- 2; 4]$ hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Der Wertebereich der gesuchten Funktion verläuft zwischen $y = - 2$ und $y = 4$ .
Hier bieten sich trigonometrische Funktionen an.
Die Amplitude ist die halbe Strecke zwischen größtem und kleinsten Ausschlag. Der größte Ausschlag ist $4$ , der kleinste Ausschlag ist $- 2$ . Die Strecke dazwischen beträgt 6. Das heißt, die Amplitude ist $3$ .
Wenn die Amplitude $3$ ist, dann liegt die Nulllinie dieser Sinus-Funktion bei $4 - 3 = 1$ , d.h. die Sinus-Funktion ist um $1$ in Richtung positiver y-Achse verschoben.
Dann erhält man folgenden Funktionsterm:
$\displaystyle y=3\cdot\sin(x)+1$
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Versuche, eine trigonometrische Funktion zu finden, die zwischen $y = - 2$ und $y = 4$ verläuft.
Geben Sie einen Term einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ an, sodass der Term $\sqrt{h(x)}$ genau für $x\in[-2{,}4]$ definiert ist. Erläutern Sie die Ihrer Angabe zugrunde liegenden Überlegungen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelfunktion
Wegen der Wurzel aus $h$ muss die Funktion $h$ größer oder gleich null sein.
Es bietet sich eine nach unten geöffnete Parabel an. Da der Definitionsbereich von $x = - 2$ bis $x = 4$ reicht (Nullstellen der Parabel), können die Linearfaktoren zu Bestimmung von $h$ verwendet werden.
$\displaystyle h(x)=-(x+2)\cdot(x-4)$
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Wegen der Wurzel aus $h$ muss die Funktion $h$ größer oder gleich null sein.
Es bietet sich eine nach unten geöffnete Parabel an.
Beachte den Definitionsbereich.

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