Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben: $f(x)=8x^3+3xf(x)=8x^3+3x$

Man erhält für die erste Ableitung mithilfe der Potenzregel: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=24x^2+3f\text{'}(x)=24x^2+3$.

Gesucht ist nun $f^{\mathrm{\prime }}(1)f\text{'}(1)$:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=24\cdot 1^2+3=27f\text{'}(1)=24\backslash cdot\; 1^2+3=27$

Antwort: $f^{\mathrm{\prime }}(1)=27f\text{'}(1)=27$

Als erstes bilden wir die Stammfunktion der Potenzfunktion:

$F(x)={\displaystyle \frac{8}{4}}{x}^4+{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+C=2x^4+\mathrm{1,5}{x}^2+CF(x)=\backslash dfrac\{8\}\{4\}x^4+\backslash dfrac\{3\}\{2\}x^2+C=2x^4+1\{,\}5x^2+C$

Der Graph von $FF$ soll durch den Punkt $(-1\mathrm{\mid }5)(-1|\; 5)$ verlaufen, wir setzen also die Koordinaten des Punktes in $FF$ ein:

Antwort: Die gesuchte Stammfunktion lautet: $F(x)=2x^4+\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{1,5}F(x)=2x^4+1\{,\}5x^2+1\{,\}5$.

In der folgenden Abbildung sind verschiedene Flächen farblich markiert.

Es soll beurteilt werden, ob der Wert des Integrals ${\displaystyle {\int }_{-2}^{8}g(x)\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^8\; g(x)\backslash ;\backslash operatorname\{d\}x$ negativ ist.

Dazu wurde das Integrationsintervall $[-2;8][-2;8]$ in mehrere Abschnitte eingeteilt.

Die beiden $\text{lilafarbigen }\backslash textcolor\{660099\}\{\; \backslash text\{lilafarbigen\; \}\}$Flächeninhalte $A_{1}A\_1$ sind gleich groß.

Ebenso gleich groß sind die beiden $\text{t}\ddot{\text{u}}\text{rkisfarbigen }\backslash textcolor\{009999\}\{\; \backslash text\{türkisfarbigen\; \}\}$Flächeninhalte $A_{3}A\_3$.

Die $\text{lilafarbige }\backslash textcolor\{660099\}\{\; \backslash text\{lilafarbige\; \}\}$Fläche $A_{1}A\_1$ und die $\text{t}\ddot{\text{u}}\text{rkisfarbige }\backslash textcolor\{009999\}\{\; \backslash text\{türkisfarbige\; \}\}$Fläche $A_{3}A\_3$ sind in die $\text{orangefarbige }\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; \backslash text\{orangefarbige\; \}\}$ Fläche $A_{2}A\_2$ eingezeichnet. Man sieht, dass die $\text{orangefarbige }\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; \backslash text\{orangefarbige\; \}\}$Fläche $A_{2}A\_2$ größer ist als die Summe der beiden Flächen $A_{1}A\_1$ und $A_{3}A\_3$. Demnach ist der Wert des Integrals nicht negativ, sondern positiv.

Antwort: Der Wert des Integrals ist nicht negativ, sondern positiv.

allgemeine Tangentengleichung: $t:y=m\cdot x+bt:\; y=m\backslash cdot\; x\; +b$

Die Tangente an $G_{g}G\_g$ im Koordinatenursprung hat die selbe Steigung wie $G_{g}G\_g$.

Berechne die Steigung von $G_{g}G\_g$ im Koordinatenursprung:

$g(x)=2\cdot \sin \left({\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)\Rightarrow g^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot \cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)g(x)=2\backslash cdot\; \backslash sin\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}x\backslash right)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;g\text{'}(x)=2\backslash cdot\; \backslash cos\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}x\backslash right)\backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}=\backslash cos\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}x\backslash right)$

Im Koordinatenursprung ist $x=0\Rightarrow x=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$$g^{\mathrm{\prime }}(0)=\cos (0)=1g\text{'}(0)=\backslash cos(0)=1$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $m=0m\; =\; 0$

Da die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft, ist $b=0b=0$.

Demnach erhält man für die Tangente $tt$ im Koordinatenursprung die Gleichung $t:y=1\cdot x\mathrm{.}t:\; y=1\; \backslash cdot\; x.$

Damit die beiden Punkte auf t liegen, muss die Tangentengleichung erfüllt sein, wenn man die Punkte einsetzt:

$(-1\mathrm{\mid }-1):-1=1\cdot -1(-\; 1|\; -1):\; -1=1\; \backslash cdot\; -1$

$(1\mathrm{\mid }1):1=1\cdot 1(1|1):\; 1=1\; \backslash cdot\; 1$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$ Die beiden Punkte $(-1\mathrm{\mid }-1)(-\; 1|\; -1)$ und $(1\mathrm{\mid }1)(1|1)$ liegen auf $tt$.

Antwort: Die Aussage trifft zu.

Betrachte den Funktionsterm $x\cdot e^{ax}x\backslash cdot\; e^\{ax\}$.

Es gilt immer: $e^{ax}>0e^\{ax\}>0$.

Ob der Graph von $f_{a}f\_a$ oberhalb oder unterhalb der $xx$-Achse verläuft, wird also nur vom Vorzeichen von $xx$ beeinflusst.

Hier soll begründet werden, dass der Graph von $f_{a}f\_a$ für $x<0x\backslash lt\; 0$ unterhalb der $xx$-Achse verläuft.

Es gilt also:

$\underset{<0}{\underbrace{x}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{e^{ax}}}<0\backslash underbrace\{x\}\_\{\backslash lt\; 0\}\backslash cdot\; \backslash underbrace\{e^\{ax\}\}\_\{\backslash gt\; 0\}\backslash lt0$ für alle $\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ der Graph verläuft unterhalb der $xx$-Achse.

Für ein positives $aa$ und positives $xx$ erhält man für das Verhalten von $f_{a}f\_a$ im Unendlichen ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x\cdot e^{ax}=+\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; +\backslash infty\}x\backslash cdot\; e^\{ax\}=+\backslash infty$.

Es kann also nur der Graph II sein.

(Graph I läuft für $x\to +\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow\; +\backslash infty$ gegen $00$.)

Der Wertebereich der gesuchten Funktion verläuft zwischen $y=-2y=-2$ und $y=4y=4$.

Hier bieten sich trigonometrische Funktionen an.

Die Amplitude ist die halbe Strecke zwischen größtem und kleinsten Ausschlag. Der größte Ausschlag ist $44$, der kleinste Ausschlag ist $-2-2$. Die Strecke dazwischen beträgt 6. Das heißt, die Amplitude ist $33$.

Wenn die Amplitude $33$ ist, dann liegt die Nulllinie dieser Sinus-Funktion bei $4-3=14-3=1$, d.h. die Sinus-Funktion ist um $11$ in Richtung positiver y-Achse verschoben.

Dann erhält man folgenden Funktionsterm:

Wegen der Wurzel aus $hh$ muss die Funktion $hh$ größer oder gleich null sein.

Es bietet sich eine nach unten geöffnete Parabel an. Da der Definitionsbereich von $x=-2x=-2$ bis $x=4x=4$ reicht (Nullstellen der Parabel), können die Linearfaktoren zu Bestimmung von $hh$ verwendet werden.