Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben: $f(x)=8x^3+3x$

Man erhält für die erste Ableitung mithilfe der Potenzregel: $f^{\prime }(x)=24x^2+3$.

Gesucht ist nun $f^{\prime }(1)$:

$f^{\prime }(1)=24\cdot 1^2+3=27$

Antwort: $f^{\prime }(1)=27$

Als erstes bilden wir die Stammfunktion der Potenzfunktion:

$F(x)={\displaystyle \frac{8}{4}}{x}^4+{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+C=2x^4+\mathrm{1,5}{x}^2+C$

Der Graph von $F$ soll durch den Punkt $(-1|5)$ verlaufen, wir setzen also die Koordinaten des Punktes in $F$ ein:

Antwort: Die gesuchte Stammfunktion lautet: $F(x)=2x^4+\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{1,5}$.

In der folgenden Abbildung sind verschiedene Flächen farblich markiert.

Es soll beurteilt werden, ob der Wert des Integrals $${\displaystyle {\int }_{-2}^{8}g(x)\mathrm{d}x}$$ negativ ist.

Dazu wurde das Integrationsintervall $[-2;8]$ in mehrere Abschnitte eingeteilt.

Die beiden $\text{lilafarbigen }$Flächeninhalte $A_1$ sind gleich groß.

Ebenso gleich groß sind die beiden $\text{türkisfarbigen }$Flächeninhalte $A_3$.

Die $\text{lilafarbige }$Fläche $A_1$ und die $\text{türkisfarbige }$Fläche $A_3$ sind in die $\text{orangefarbige }$ Fläche $A_2$ eingezeichnet. Man sieht, dass die $\text{orangefarbige }$Fläche $A_2$ größer ist als die Summe der beiden Flächen $A_1$ und $A_3$. Demnach ist der Wert des Integrals nicht negativ, sondern positiv.

Antwort: Der Wert des Integrals ist nicht negativ, sondern positiv.

allgemeine Tangentengleichung: $t:y=m\cdot x+b$

Die Tangente an $G_g$ im Koordinatenursprung hat die selbe Steigung wie $G_g$.

Berechne die Steigung von $G_g$ im Koordinatenursprung:

$g(x)=2\cdot \sin \left({\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)\Rightarrow g^{\prime }(x)=2\cdot \cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)$

Im Koordinatenursprung ist $x=0\Rightarrow$$g^{\prime }(0)=\cos (0)=1$

$\Rightarrow$ $m=0$

Da die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft, ist $b=0$.

Demnach erhält man für die Tangente $t$ im Koordinatenursprung die Gleichung $t:y=1\cdot x.$

Damit die beiden Punkte auf t liegen, muss die Tangentengleichung erfüllt sein, wenn man die Punkte einsetzt:

$(-1|-1):-1=1\cdot -1$

$(1|1):1=1\cdot 1$

$\Rightarrow$ Die beiden Punkte $(-1|-1)$ und $(1|1)$ liegen auf $t$.

Antwort: Die Aussage trifft zu.

Betrachte den Funktionsterm $x\cdot e^{ax}$.

Es gilt immer: $e^{ax}>0$.

Ob der Graph von $f_a$ oberhalb oder unterhalb der $x$-Achse verläuft, wird also nur vom Vorzeichen von $x$ beeinflusst.

Hier soll begründet werden, dass der Graph von $f_a$ für $x<0$ unterhalb der $x$-Achse verläuft.

Es gilt also:

$\underset{<0}{\underbrace{x}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{e^{ax}}}<0$ für alle $x<0$ $\Rightarrow$ der Graph verläuft unterhalb der $x$-Achse.

Für ein positives $a$ und positives $x$ erhält man für das Verhalten von $f_a$ im Unendlichen $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot e^{ax}=+\infty }$$.

Es kann also nur der Graph II sein.

(Graph I läuft für $x\to +\infty$ gegen $0$.)

Der Wertebereich der gesuchten Funktion verläuft zwischen $y=-2$ und $y=4$.

Hier bieten sich trigonometrische Funktionen an.

Die Amplitude ist die halbe Strecke zwischen größtem und kleinsten Ausschlag. Der größte Ausschlag ist $4$, der kleinste Ausschlag ist $-2$. Die Strecke dazwischen beträgt 6. Das heißt, die Amplitude ist $3$.

Wenn die Amplitude $3$ ist, dann liegt die Nulllinie dieser Sinus-Funktion bei $4-3=1$, d.h. die Sinus-Funktion ist um $1$ in Richtung positiver y-Achse verschoben.

Dann erhält man folgenden Funktionsterm:

Wegen der Wurzel aus $h$ muss die Funktion $h$ größer oder gleich null sein.

Es bietet sich eine nach unten geöffnete Parabel an. Da der Definitionsbereich von $x=-2$ bis $x=4$ reicht (Nullstellen der Parabel), können die Linearfaktoren zu Bestimmung von $h$ verwendet werden.