In der folgenden Abbildung sind verschiedene Flächen farblich markiert.

Es soll beurteilt werden, ob der Wert des Integrals ${\displaystyle {\int }_{-2}^{8}g(x)\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^8\; g(x)\backslash ;\backslash operatorname\{d\}x$ negativ ist.

Dazu wurde das Integrationsintervall $[-2;8][-2;8]$ in mehrere Abschnitte eingeteilt.

Die beiden $\text{lilafarbigen }\backslash textcolor\{660099\}\{\; \backslash text\{lilafarbigen\; \}\}$Flächeninhalte $A_{1}A\_1$ sind gleich groß.

Ebenso gleich groß sind die beiden $\text{t}\ddot{\text{u}}\text{rkisfarbigen }\backslash textcolor\{009999\}\{\; \backslash text\{türkisfarbigen\; \}\}$Flächeninhalte $A_{3}A\_3$.

Die $\text{lilafarbige }\backslash textcolor\{660099\}\{\; \backslash text\{lilafarbige\; \}\}$Fläche $A_{1}A\_1$ und die $\text{t}\ddot{\text{u}}\text{rkisfarbige }\backslash textcolor\{009999\}\{\; \backslash text\{türkisfarbige\; \}\}$Fläche $A_{3}A\_3$ sind in die $\text{orangefarbige }\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; \backslash text\{orangefarbige\; \}\}$ Fläche $A_{2}A\_2$ eingezeichnet. Man sieht, dass die $\text{orangefarbige }\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; \backslash text\{orangefarbige\; \}\}$Fläche $A_{2}A\_2$ größer ist als die Summe der beiden Flächen $A_{1}A\_1$ und $A_{3}A\_3$. Demnach ist der Wert des Integrals nicht negativ, sondern positiv.

Antwort: Der Wert des Integrals ist nicht negativ, sondern positiv.

allgemeine Tangentengleichung: $t:y=m\cdot x+bt:\; y=m\backslash cdot\; x\; +b$

Die Tangente an $G_{g}G\_g$ im Koordinatenursprung hat die selbe Steigung wie $G_{g}G\_g$.

Berechne die Steigung von $G_{g}G\_g$ im Koordinatenursprung:

$g(x)=2\cdot \sin \left({\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)\Rightarrow g^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot \cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}x\right)g(x)=2\backslash cdot\; \backslash sin\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}x\backslash right)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;g\text{'}(x)=2\backslash cdot\; \backslash cos\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}x\backslash right)\backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}=\backslash cos\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}x\backslash right)$

Im Koordinatenursprung ist $x=0\Rightarrow x=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$$g^{\mathrm{\prime }}(0)=\cos (0)=1g\text{'}(0)=\backslash cos(0)=1$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ $m=0m\; =\; 0$

Da die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft, ist $b=0b=0$.

Demnach erhält man für die Tangente $tt$ im Koordinatenursprung die Gleichung $t:y=1\cdot x\mathrm{.}t:\; y=1\; \backslash cdot\; x.$

Damit die beiden Punkte auf t liegen, muss die Tangentengleichung erfüllt sein, wenn man die Punkte einsetzt:

$(-1\mathrm{\mid }-1):-1=1\cdot -1(-\; 1|\; -1):\; -1=1\; \backslash cdot\; -1$

$(1\mathrm{\mid }1):1=1\cdot 1(1|1):\; 1=1\; \backslash cdot\; 1$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$ Die beiden Punkte $(-1\mathrm{\mid }-1)(-\; 1|\; -1)$ und $(1\mathrm{\mid }1)(1|1)$ liegen auf $tt$.

Antwort: Die Aussage trifft zu.