Gegeben: $f(x)=8x^3+3xf(x)=8x^3+3x$

Man erhält für die erste Ableitung mithilfe der Potenzregel: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=24x^2+3f\text{'}(x)=24x^2+3$.

Gesucht ist nun $f^{\mathrm{\prime }}(1)f\text{'}(1)$:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=24\cdot 1^2+3=27f\text{'}(1)=24\backslash cdot\; 1^2+3=27$

Antwort: $f^{\mathrm{\prime }}(1)=27f\text{'}(1)=27$

Als erstes bilden wir die Stammfunktion der Potenzfunktion:

$F(x)={\displaystyle \frac{8}{4}}{x}^4+{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+C=2x^4+\mathrm{1,5}{x}^2+CF(x)=\backslash dfrac\{8\}\{4\}x^4+\backslash dfrac\{3\}\{2\}x^2+C=2x^4+1\{,\}5x^2+C$

Der Graph von $FF$ soll durch den Punkt $(-1\mathrm{\mid }5)(-1|\; 5)$ verlaufen, wir setzen also die Koordinaten des Punktes in $FF$ ein:

Antwort: Die gesuchte Stammfunktion lautet: $F(x)=2x^4+\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{1,5}F(x)=2x^4+1\{,\}5x^2+1\{,\}5$.