Wie geht der Graph von $hh$ aus dem Graphen der Funktion $ww$ hervor?

Es ist $w(x)=\sqrt{x}w(x)=\backslash sqrt\{x\}$ und $h(x)=\sqrt{x+3}-2h(x)=\backslash sqrt\{x+3\}-2$.

$w\stackrel{\text{Verschieb. um 3 auf der x-Achse nach links}}{\to }\sqrt{x+3}\stackrel{\text{Verschieb. um 2 in Richtung der y-Achse nach unten}}{\to }\underset{h(x)}{\underbrace{\sqrt{x+3}-2}}w\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Verschieb.\; um\; 3\; auf\; der\; x-Achse\; nach\; links\}\}\backslash sqrt\{x+3\}\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Verschieb.\; um\; 2\; in\; Richtung\; der\; y-Achse\; nach\; unten\}\}\backslash underbrace\{\backslash sqrt\{x+3\}-2\}\_\{h(x)\}$

Als Hilfe kannst du die Graphen von $ww$ und $hh$ zeichnen:

Antwort: Der Graph von $hh$ entsteht aus $ww$ durch Verschiebung um 3 nach links und um 2 nach unten.

Begründen Sie, dass h umkehrbar ist

Alle streng monoton wachsenden bzw. streng monoton fallenden Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion.

Die Funktion $hh$ ist streng monoton wachsend, besitzt also eine Umkehrfunktion.

Beschreiben Sie, wie der Graph der Umkehrfunktion $h^{-1}h^\{-1\}$ von $hh$ aus dem Graphen von $hh$ hervorgeht

$h\stackrel{\text{Spiegelung an der Winkelhalbierenden y=x}}{\to }{h}^{-1}h\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Spiegelung\; an\; der\; Winkelhalbierenden\; y=x\}\}h^\{-1\}$

Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich von $h^{-1}h^\{-1\}$ an

Beim Umkehren vertauschen sich Definitions- und Wertemenge. Die Definitionsmenge von $hh$ ist die Wertemenge von $h^{-1}h\; ^\{-1\}$ und die Wertemenge von

$hh$ ist die Definitionsmenge von $h^{-1}h\; ^\{-1\}$.

Es ist ${\mathbb{D}}_{\mathbb{h}}=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }x\ge -3\}\backslash mathbb\{D\_h\}=\backslash \{x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}|x\backslash geq-3\backslash \}$ und ${\mathbb{W}}_{\mathbb{h}}=\{y\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }y\ge -2\}\backslash mathbb\{W\_h\}=\backslash \{y\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}|y\backslash geq-2\backslash \}$.

Demnach ist dann ${\mathbb{D}}_{{\mathbb{h}}^{-\mathbb{1}}}=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }x\ge -2\}\backslash mathbb\{D\_\{h^\{-1\}\}\}=\backslash \{x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}|x\backslash geq-2\backslash \}$ und ${\mathbb{W}}_{{\mathbb{h}}^{-\mathbb{1}}}=\{y\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }y\ge -3\}\backslash mathbb\{W\_\{h^\{-1\}\}\}=\backslash \{y\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}|y\backslash geq-3\backslash \}$.