Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die in $[3; + \infty [$ definierte Funktion $h : x \mapsto \sqrt{x + 3} - 2$ .

Beschreiben Sie, wie der Graph von $h$ aus dem Graphen der in $ℝ_{𝟘}^{+}$ definierten Funktion $w : x \mapsto \sqrt{x}$ hervorgeht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelfunktion
Wie geht der Graph von $h$ aus dem Graphen der Funktion $w$ hervor?
Es ist $w (x) = \sqrt{x}$ und $h (x) = \sqrt{x + 3} - 2$ .
$w \overset{\overset{}{Verschieb. um 3 auf der x-Achse nach links}}{\to} \sqrt{x + 3} \overset{\overset{}{Verschieb. um 2 in Richtung der y-Achse nach unten}}{\to} \underset{h (x)}{\underset{⏟}{\sqrt{x + 3} - 2}}$
Als Hilfe kannst du die Graphen von $w$ und $h$ zeichnen:
Antwort: Der Graph von $h$ entsteht aus $w$ durch Verschiebung um 3 nach links und um 2 nach unten.
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Betrachte $\sqrt{x}$ und $\sqrt{x + 3} - 2$ .
Welche Transformationen sind erforderlich, um aus $\sqrt{x}$ den Term $\sqrt{x + 3} - 2$ zu machen?
Als Hilfe kannst du auch die Graphen von $w$ und $h$ zeichnen.
Begründen Sie, dass $h$ umkehrbar ist, und beschreiben Sie, wie der Graph der Umkehrfunktion $h^{- 1}$ von $h$ aus dem Graphen von $h$ hervorgeht. Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich von $h^{- 1}$ an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Begründen Sie, dass h umkehrbar ist
Alle streng monoton wachsenden bzw. streng monoton fallenden Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion.
Die Funktion $h$ ist streng monoton wachsend, besitzt also eine Umkehrfunktion.
Beschreiben Sie, wie der Graph der Umkehrfunktion $h^{- 1}$ von $h$ aus dem Graphen von $h$ hervorgeht
$h \overset{\overset{}{Spiegelung an der Winkelhalbierenden y=x}}{\to} h^{- 1}$
Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich von $h^{- 1}$ an
Beim Umkehren vertauschen sich Definitions- und Wertemenge. Die Definitionsmenge von $h$ ist die Wertemenge von $h^{- 1}$ und die Wertemenge von
$h$ ist die Definitionsmenge von $h^{- 1}$ .
Es ist $𝔻_{𝕙} = {x \in ℝ | x \geq - 3}$ und $𝕎_{𝕙} = {y \in ℝ | y \geq - 2}$ .
Demnach ist dann $𝔻_{𝕙^{- 𝟙}} = {x \in ℝ | x \geq - 2}$ und $𝕎_{𝕙^{- 𝟙}} = {y \in ℝ | y \geq - 3}$ .
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Teil 1
Begründe durch das Monotonieverhalten von $h$ .
Teil 2
Der Graph von $h$ wird an der Winkelhalbierenden $y = x$ gespiegelt, um den Graphen von $h^{- 1}$ zu erhalten.
Teil 3
Bestimme die Definitions- und Wertemenge von $h$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Wie geht der Graph von h aus dem Graphen der Funktion w hervor?

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Begründen Sie, dass h umkehrbar ist

Beschreiben Sie, wie der Graph der Umkehrfunktion h−1 von h aus dem Graphen von h hervorgeht

Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich von h−1 an

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Wie geht der Graph von $h$ aus dem Graphen der Funktion $w$ hervor?

Beschreiben Sie, wie der Graph der Umkehrfunktion $h^{- 1}$ von $h$ aus dem Graphen von $h$ hervorgeht

Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich von $h^{- 1}$ an