Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

1. Nullstellen berechnen

Die Nullstellen von $ff$ sind die Nullstellen des Zählers, wenn diese ungleich $-2-2$ sind ($-2-2$ ist nicht in ${\mathbb{D}}_{\mathbb{f}}\backslash mathbb\{D\_f\}$ enthalten).

$\Rightarrow x^2-9=(x+3)\cdot (x-3)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2-9=(x+3)\backslash cdot(x-3)=0$

Verwende den Satz vom Nullprodukt:

$\Rightarrow x+3=0\Rightarrow x_1=-3\backslash Rightarrow\backslash ;\; x+3=0\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_1=-3$ und $x-3=0\Rightarrow x_2=+3x-3=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_2=+3$

Die Funktion $ff$ hat die beiden Nullstellen $x_1=-3x\_1=-3$ und $x_2=+3x\_2=+3$.

Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $ff$ mit der y-Achse

Berechne $f(0)f(0)$:

$\Rightarrow f(0)={\displaystyle \frac{0^2-9}{0+2}}={\displaystyle \frac{-9}{2}}=-\mathrm{4,5}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f(0)=\backslash dfrac\{0^2-9\}\{0+2\}=\backslash dfrac\{-9\}\{2\}=-4\{,\}5$

Es ist${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\stackrel{\to +\mathrm{\infty }}{\overbrace{x^2-9}}}{\underset{\to -\mathrm{\infty }}{\underbrace{x+2}}}=-\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; -\backslash infty\}\backslash dfrac\{\backslash overbrace\{x^2-9\}^\{\backslash rightarrow\; +\backslash infty\}\}\{\backslash underbrace\{x+2\}\_\{\backslash rightarrow\; -\backslash infty\}\}=-\backslash infty$ und ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\stackrel{\to +\mathrm{\infty }}{\overbrace{x^2-9}}}{\underset{\to +\mathrm{\infty }}{\underbrace{x+2}}}=+\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; +\backslash infty\}\backslash dfrac\{\backslash overbrace\{x^2-9\}^\{\backslash rightarrow\; +\backslash infty\}\}\{\backslash underbrace\{x+2\}\_\{\backslash rightarrow\; +\backslash infty\}\}=+\backslash infty$

Term der ersten Ableitungsfunktion von $gg$

Gegeben ist die Funktion $g(x)=x^3+x^{2}g(x)=x^3+x^2$.

Berechne die 1. Ableitung einer Potenzfunktion:

Inhalt der Fläche, die der Graph von $gg$ mit der x-Achse einschließt

Dazu werden die Nullstellen von $gg$ benötigt.

$g(x)=x^3+x^2=x^2(x+1)\Rightarrow x^2(x+1)=0g(x)=x^3+x^2=x^2(x+1)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2(x+1)=0$

Die Lösungen erhält man mit dem Satz vom Nullprodukt:

$x^2=0\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=0x^2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_\{1\{,\}2\}=0$ und $x+1=0\Rightarrow x_3=-1x+1=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_3=-1$

Berechne nun das Integral:

Antwort: Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $gg$ mit der x-Achse einschließt, beträgt ${\displaystyle \frac{1}{12}}\text{FE}\backslash dfrac\{1\}\{12\}\backslash ;\backslash text\{FE\}$.

Wie geht der Graph von $hh$ aus dem Graphen der Funktion $ww$ hervor?

Es ist $w(x)=\sqrt{x}w(x)=\backslash sqrt\{x\}$ und $h(x)=\sqrt{x+3}-2h(x)=\backslash sqrt\{x+3\}-2$.

$w\stackrel{\text{Verschieb. um 3 auf der x-Achse nach links}}{\to }\sqrt{x+3}\stackrel{\text{Verschieb. um 2 in Richtung der y-Achse nach unten}}{\to }\underset{h(x)}{\underbrace{\sqrt{x+3}-2}}w\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Verschieb.\; um\; 3\; auf\; der\; x-Achse\; nach\; links\}\}\backslash sqrt\{x+3\}\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Verschieb.\; um\; 2\; in\; Richtung\; der\; y-Achse\; nach\; unten\}\}\backslash underbrace\{\backslash sqrt\{x+3\}-2\}\_\{h(x)\}$

Als Hilfe kannst du die Graphen von $ww$ und $hh$ zeichnen:

Antwort: Der Graph von $hh$ entsteht aus $ww$ durch Verschiebung um 3 nach links und um 2 nach unten.

Begründen Sie, dass h umkehrbar ist

Alle streng monoton wachsenden bzw. streng monoton fallenden Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion.

Die Funktion $hh$ ist streng monoton wachsend, besitzt also eine Umkehrfunktion.

Beschreiben Sie, wie der Graph der Umkehrfunktion $h^{-1}h^\{-1\}$ von $hh$ aus dem Graphen von $hh$ hervorgeht

$h\stackrel{\text{Spiegelung an der Winkelhalbierenden y=x}}{\to }{h}^{-1}h\backslash xrightarrow\{\backslash text\{Spiegelung\; an\; der\; Winkelhalbierenden\; y=x\}\}h^\{-1\}$

Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich von $h^{-1}h^\{-1\}$ an

Beim Umkehren vertauschen sich Definitions- und Wertemenge. Die Definitionsmenge von $hh$ ist die Wertemenge von $h^{-1}h\; ^\{-1\}$ und die Wertemenge von

$hh$ ist die Definitionsmenge von $h^{-1}h\; ^\{-1\}$.

Es ist ${\mathbb{D}}_{\mathbb{h}}=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }x\ge -3\}\backslash mathbb\{D\_h\}=\backslash \{x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}|x\backslash geq-3\backslash \}$ und ${\mathbb{W}}_{\mathbb{h}}=\{y\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }y\ge -2\}\backslash mathbb\{W\_h\}=\backslash \{y\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}|y\backslash geq-2\backslash \}$.

Demnach ist dann ${\mathbb{D}}_{{\mathbb{h}}^{-\mathbb{1}}}=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }x\ge -2\}\backslash mathbb\{D\_\{h^\{-1\}\}\}=\backslash \{x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}|x\backslash geq-2\backslash \}$ und ${\mathbb{W}}_{{\mathbb{h}}^{-\mathbb{1}}}=\{y\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }y\ge -3\}\backslash mathbb\{W\_\{h^\{-1\}\}\}=\backslash \{y\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}|y\backslash geq-3\backslash \}$.

Gleichung der Tangente t

$t:y=m\cdot x+bt:\; y=m\backslash cdot\; x+b$

Der y-Achsenabschnitt ist $b=-8b=-8$ (Schnitt von $tt$ mit der y-Achse) und mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck erhält man $m={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{16}{4}}=4m=\backslash dfrac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}=\backslash dfrac\{16\}\{4\}=4$.

Also ist $t:y=4\cdot x-8t:\; y=4\backslash cdot\; x-8$.

Tangente an den Graphen von $f_{a}f\_a$ im Punkt $(u\mathrm{\mid }{f}_a(u))(u|f\_a(u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0\mathrm{\mid }-f_a(u))(0|-f\_a(u))$

Es ist $f_a(x)=a{x}^2\Rightarrow f_a^{\mathrm{\prime }}(x)=2axf\_a(x)=ax^2\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\; f\_a\text{'}(x)=2ax$ und der Punkt ist $(u\mathrm{\mid }{f}_a(u))(u|f\_a(u))$.

Weiterhin gilt für die Tangente:

Setze die Koordinaten von $(u\mathrm{\mid }{f}_a(u))(u|f\_a(u))$ in $t:y=2au\cdot x+bt:\; y=2au\backslash cdot\; x+b$ ein:

Mit $f_a(u)=a{u}^{2}f\_a(u)=au^2$ folgt dann $b=a{u}^2-2a{u}^2=-a{u}^{2}b=au^2-2au^2=-au^2$.

Damit erhält man für die Tangentengleichung im Punkt $(u\mathrm{\mid }{f}_a(u))(u|f\_a(u))$:

Für den Schnittpunkt der Tangente $tt$ mit der y-Achse setze $x=0x=0$ in $tt$ ein. Mit $x=0x=0$ folgt $y=-a{u}^2=-f_a(u)y=-au^2=-f\_a(u)$.

Also ist: